题目大意:给你一个空字符串,你有\(\frac{pa}{pa+pb}\)的概率往字符串最后面加个\(a\),\(\frac{pb}{pa+pb}\)的概率往字符串最后面加个\(b\),当子序列\(ab\)的个数超过\(k\)时,停止加入。求是期望出现子序列\(ab\)的个数
因为可以无限加字母,所以设\(f[i][j]\)表示这个串有\(i\)个\(a\),\(j\)个\(ab\)为前缀时,期望出现的\(ab\)子序列个数
转移方程为
\[f[i][j]=(f[i+1][j]*pa+f[i][j+i]*pb)/(pa+pb)\]
我们可以发现当\(i+j\geq k\)时,再加个\(b\)就可以结束。然后就是求这个状态对应的期望\(x\)
\(x= \frac{pb}{pa+pb} \sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*({\frac{pa}{pa+pb}})^a\)
\(=\frac{pb}{pa+pb}*\frac{\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*({\frac{pa}{pa+pb}})^a-\sum\limits_{a=1}^{\infty}(i+j+a)*({\frac{pa}{pa+pb}})^a}{(1-\frac{pa}{pa+pb})}\)
\(=\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*({\frac{pa}{pa+pb}})^a-\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*({\frac{pa}{pa+pb}})^{a+1}\)
\(=i+j+\sum\limits_{a=1}^{\infty}({\frac{pa}{pa+pb}})^a\)
\(=i+j+\frac{pa}{pa+pb}/(1-\frac{pa}{pa+pb})\)
\(=i+j+\frac{pa}{pb}\)
这个过程用了两次错位相减法
然后关于答案是\(f[0][0]\) or \(f[1][0]\)的问题
感性理解的话,前面无限加\(b\)不会对答案产生贡献
理性证明的话把转移方程代进去,然后就是\(f[0][0]=f[1][0]\)了
丢代码:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 1010
#define ll long long
#define mod 1000000007ll
using namespace std;
ll invab,invb,f[N][N],pa,pb,k;//有i个a和j个ab的期望ab个数
ll ksm(ll x,ll y){
ll ans=1;
for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mod) if(y&1) (ans*=x)%=mod;
return ans;
}
ll dfs(int x,int y){
if(x+y>=k) return ((x+y)%mod+pa*invb%mod)%mod;
if(f[x][y]) return f[x][y];
else return f[x][y]=(dfs(x+1,y)*pa%mod+dfs(x,y+x)*pb%mod)%mod*invab%mod;
}
int main(){
cin>>k>>pa>>pb;
invab=ksm(pa+pb,mod-2);
invb=ksm(pb,mod-2);
cout<<dfs(1,0);
}