Problem

Description

给定三个数 \(k,pa,pb\) ，每次有 \(\frac{pa}{pa+pb}\) 的概率往后面添加一个 a，有 \(\frac{pb}{pa+pb}\) 的概率往后面添加一个 b ，当出现了 \(k\) 个形如 ab 的子序列（不用连续）时停止。

求最后子序列 ab 的期望个数。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

Sample

Input 1

1 1 1

Output 1

Input 2

3 1 4

Output 2

370000006

Range

\(k\le1000,p_a,p_b\le10^6\)

Algorithm

\(DP\)，概率与期望

Mentality

设 \(f_{i,j}\) 表示当前有 \(i\) 个 \(a\) ，\(j\) 个子序列 \(ab\) ，在整个序列结束时的子序列 \(ab\) 的期望个数。发现第一维可能无限大，考虑倒推。

\(f_{i,j}\) 的转移有两种情况，一是在末尾加入 \(a\) ，转移至 \(f_{i+1,j}\) ，而是加入 \(b\) 转移至 \(f_{i,j+i}\) 。那么倒推的方程就很明显了：
\[ f_{i,j}=\frac{p_a}{p_a+p_b}f_{i+1,j}+\frac{p_b}{p_a+p_b}f_{i,j+1} \]
不过第一维无限大的问题还是没解决，必须考虑边界的问题。

我们发现，当 \(i+j\ge k\) 的时候，如果我们加入 \(b\) ，则整个串就会立即终止。

那么对于一个状态 \(f_{i,j},(i+j\ge k)\) 来说，设在此状态上连续加入 \(x\) 个 \(a\) 再加入一个 \(b\) ，则：
\[ f_{i,j}=\frac{p_b}{p_a+p_b}\sum_{x=0}^\infty(i+j+x)(\frac{p_a}{p_a+p_b})^x \]
这是一个等比数列，那么我们直接等比数列求和就好了。

算出来得到：
\[ f_{i,j}=i+j+\frac{p_a}{p_b} \]
直接记搜就星了。

Code

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
long long read() {
  long long x = 0, w = 1;
  char ch = getchar();
  while (!isdigit(ch)) w = ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar();
  while (isdigit(ch)) {
    x = x * 10 + ch - '0';
    ch = getchar();
  }
  return x * w;
}
const int Max_n = 1e3 + 5, mod = 1e9 + 7;
int n, a, b;
int pa, pb, pp;
int f[Max_n][Max_n];
int ksm(int a, int b) {
  int res = 1;
  for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
    if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
  return res;
}
int DP(int a, int ab) {
  int &res = f[a][ab];
  if (res != -1) return res;
  if (a + ab >= n) {
    res = (a + ab + pp) % mod;
    return res;
  }
  return res =
             (1ll * pa * DP(a + 1, ab) % mod + 1ll * pb * DP(a, ab + a) % mod) %
             mod;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("D.in", "r", stdin);
  freopen("D.out", "w", stdout);
#endif
  n = read(), a = read(), b = read();
  pa = 1ll * a * ksm(a + b, mod - 2) % mod;
  pb = 1ll * b * ksm(a + b, mod - 2) % mod;
  pp = 1ll * a * ksm(b, mod - 2) % mod;
  memset(f, -1, sizeof(f));
  printf("%d\n", DP(1, 0));
}

【CF908D】New Year and Arbitrary Arrangement