Codeforces908 D. New Year and Arbitrary Arrangement（期望dp）

题意：

数据范围：k<=1e3，pa,pb<=1e6

解法：

$$\begin{gathered} 令d[i][j]表示: \\ 当前已经有i个子序列ab,还有j个字符a,到达终点的ab期望数. \\ 令A为添加到a的概率,令b为添加到b的概率. \\ 转移方程:d[i][j]=A\ast d[i+1][j]+B\ast d[i][i+j]. \\ 因为k<=1e3,所以: \\ 1.i的上限设为1e3,即使j不够,下一次选到b马上就满足条件了. \\ 2.j的上限设为1e3,这个是因为ab序列数量>k时就终止了. \\ 这样的话状态数就是O(n^2)了,开的下. \\ 然后考虑边界数值: \\ 当j<k但i+j>=k时,选出一个b久满足条件了, \\ 这时d[i][j]的期望值x为: \\ x=\sum _{a=0}^{\infty }B\ast (i+j+a)\ast A^a \\ =B\ast \sum _{a=0}^{\infty }(i+j+a)\ast A^a \\ Ax=B\ast \sum _{a=0}^{\infty }(i+j+a)\ast A^{a+1} \\ 错位相减得: \\ (1-A)x=B\ast (i+j)A^0+B\ast \sum _{a=1}^{\infty }{A}^a \\ =B\ast (i+j)+B\ast \frac{A\ast (1-A^{\infty })}{1-A} \\ 由于B=1-A,同时(1-A^{\infty })=1因此式子可以变为: \\ Bx=B\ast (i+j)+B\ast \frac{A}{B} \\ x=i+j+\frac{A}{B} \\ 记忆化搜索即可 \end{gathered}$$

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=1e3+5;
const int mod=1e9+7;
int d[maxm][maxm];
int k,pa,pb;
int A,B;
int C;
int ppow(int a,int b,int mod){
    
    
    int ans=1%mod;a%=mod;
    while(b){
    
    
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int dfs(int i,int j){
    
    
    if(j>=k)return j;
    if(i+j>=k)return i+j+C;
    if(d[i][j]!=-1)return d[i][j];
    return d[i][j]=(A*dfs(i+1,j)%mod+B*dfs(i,i+j)%mod)%mod;
}
signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>k>>pa>>pb;
    A=pa*ppow(pa+pb,mod-2,mod)%mod;
    B=pb*ppow(pa+pb,mod-2,mod)%mod;
    C=pa*ppow(pb,mod-2,mod)%mod;
    memset(d,-1,sizeof d);
    cout<<dfs(1,0)<<endl;
    return 0;
}

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