【蓝桥】 算法提高 聪明的美食家（最长上升子序列，upper_bound( )）

问题描述
　　如果有人认为吃东西只需要嘴巴，那就错了。
　　都知道舌头有这么一个特性，“由简入奢易，由奢如简难”（据好事者考究，此规律也适合许多其他情况）。具体而言，如果是甜食，当你吃的食物不如前面刚吃过的东西甜，就很不爽了。
　　大宝是一个聪明的美食家，当然深谙此道。一次他来到某小吃一条街，准备从街的一头吃到另一头。为了吃得爽，他大费周章，得到了各种食物的“美味度”。他拒绝不爽的经历，不走回头路而且还要爽歪歪（爽的次数尽量多）。
输入格式
　　两行数据。
　　第一行为一个整数n，表示小吃街上小吃的数量
　　第二行为n个整数，分别表示n种食物的“美味度”
输出格式
　　一个整数，表示吃得爽的次数

样例输入 10 3 18 7 14 10 12 23 41 16 24 样例输出 6

数据规模和约定
　　美味度为0到100的整数　n<1000
　　//这里题目有错，实际给的数据远超1000，数组大小应该大一些，如1e+100

思路：
这里给两种解法，dp和二分。
1.dp:两层循环，找到原序列a[i]种各个元素作为结尾的最长子序列，长度用b[i]记录，找到b[i]中最大值，即为所求。O（n^2）。

2.二分（折半）:这个要结合代码和网上资料好好理解下，大体就是，遍历一遍原序列，找到符合要求的元素放入非递减子序列b[i]的适当位置。（若a[i]>=b[i]，b[i]长度+1；a[i]<b[i],找到b[i]中第一个大于a[i]的位置，用当前a[i]替换）。O(nlog2n)。

知识点：
1.最长上升子序列（longest increasing subsequence）：
最长非递减子序列道理和LIS差不多，知识点参考链接：
https://www.cnblogs.com/frankchenfu/p/7107019.html

2.upper_bound( )二分函数的使用，初步掌握参考链接：https://blog.csdn.net/qq_40160605/article/details/80150252
主要注意：
lower_bound（ begin,end,num）是查找第一个大于或等于num的函数，upper_bound( begin,end,num)：查找第一个大于num的函数。
返回的地址减去起始地址begin,得到找到元素在数组中的下标。

3.*max_element(b,b+n)函数的又一次使用
注意返回的是地址，显示该位置的值需要加 “ * ”

AC代码：
1.DP方法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010],b[1010];//原序列  存放以a[i]结尾的子序列最长值 
int main()
{
	int n; cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=1;
	 } 
	 for(int i=1;i<n;i++)//挨个遍历原序列，找到以a[i]作最后一个数的最长子序列 
	 {
	 	for(int j=0;j<i;j++)//将a[i]前的所有元素遍历一遍 
	 	//当然也可以这么写  for(int j=i-1; j>=0; j--） 
	 	{
	 		if(a[j]<=a[i])//有无"="可判断是否严格单调递增
			  {
			  	b[i]=max(b[i],b[j]+1);
			  } 
		 }
	 }
	 cout<<*max_element(b,b+n);//找数组最大元素函数，头文件为#include <algorithm> 
}

2.手写二分解法：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=101000;
int a[maxn],b[maxn];//a为原始数据，b为非递减子序列 

int his(int key,int low,int high)
{
	while(low<=high)
	{
		int mid=(low+high)/2;
		if(key>=b[mid]&&key<b[mid+1])
			return mid+1;
		else if(key>=b[mid])
		low=mid+1;
		else
		high=mid-1;
	}
}
int lis(int n)
{
	b[0]=a[0];
	int len=0,j;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		if(b[len]<=a[i])
			j=++len;
		else
			j=his(a[i],0,len);//half interval search
		b[j]=a[i];
	}
	cout<<len+1;
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>a[i];
	lis(n);//longest increasing subsequence
	 
	return 0;
}

3.调用upper_bound（）函数二分解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+100;
int a[maxn],b[maxn];
int main()
{
	int n,len=0;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>a[i];
	b[len++]=a[0];
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int j=upper_bound(b,b+len,a[i])-b;
		if(j==len)
			b[len++]=a[i];
		else
			b[j]=a[i];
	}
	cout<<len;
	return 0;
}