TrA(九度教程第 59 题)

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TrA(九度教程第 59 题)

时间限制：1 秒 内存限制：32 兆 特殊判题：否

1.题目描述：

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

输入：
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

输出：
对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

样例输入：
2
2 2
1 0
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9
样例输出：
2
2686

2.基本思路

采用快速幂的方法进行运算，首先定义矩阵乘法，然后利用类似于二分求幂的方法编写矩阵快速幂的方法，同时求解的过程中对所有大于9973的元素进行%9973的操作。最后将所得的矩阵 $A^k$的对角线进行求和得到矩阵得tr(A).

3.代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<vector<int>> matrixMultiple(vector<vector<int>> A,vector<vector<int>>B){
    int rowsA = A.size();
    int colsA = A[0].size();
    int rowsB = B.size();
    int colsB = B[0].size();
    vector<vector<int>> res;//存储矩阵相乘的结果
    if(colsA!=rowsB){
        printf("two matrices cannot be multiplied!");
        return res;//两矩阵不能相乘，返回空
    }
    else{
        res.resize(rowsA);//初始化结果矩阵的大小
        for(int i=0;i<rowsA;i++){
            res[i].resize(colsB);
        }
        for(int i=0;i<rowsA;i++){
                for(int j=0;j<colsB;j++){
                    int sum=0;
                    for(int k=0;k<colsA;k++){
                        sum=sum+A[i][k]*B[k][j];
                        sum%=9973;
                        }
                    res[i][j]=sum;
                }
        }
    }
     return res;
}

vector<vector<int>> quickMatrixPower(vector<vector<int>> A,int b){
    int rows = A.size();
    int cols = A[0].size();
    vector<vector<int>> ans;
    if(rows!=cols)
    {
        printf("Only the square matrices can be imaginary!");
        return ans;
    }
    //初始化矩阵ans为单位矩阵
    ans.resize(rows);
    for(int i=0;i<cols;i++)
        ans[i].resize(cols);
    for(int i=0;i<cols;i++){
        for(int j=0;j<cols;j++){
            if(i==j)
                ans[i][j]=1;
            else
                ans[i][j]=0;
        }
    }

    while(b){//利用二分求幂的方法计算矩阵的幂次方
        if(b&1){
            ans = matrixMultiple(A,ans);
        }
        A=matrixMultiple(A,A);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    vector<vector<int>> A;
    int n,k,T;
    scanf("%d",&T);
    for(int i=0;i<T;i++){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        A.resize(n);
        for(int j=0;j<n;j++)
            A[j].resize(n);
        for(int j=0;j<n;j++){
            for(int l=0;l<n;l++){
                scanf("%d",&A[j][l]);
            }
        }
        A=quickMatrixPower(A,k);
        int ans=0;
        for(int t=0;t<n;t++){
            ans+=A[t][t];
            ans%=9973;
        }
        printf("%d\n",ans%9973);
    }
    return 0;
}
/*
2
2 2
1 0
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9
*/