集合·映射
集合
,a是集合M的元素,,a不是集合M的元素
例：两个多项式的公因式的集合
空集合
定义：不包含任何元素的集合称为空集合
注：一个无解的线性方程组的解集合为空集合
集合相等
若两个集合M,N含有完全相同的元素,即,则称它们相等,记作
子集合
若集合M的元素全是集合N的元素,即由可推出,则称M为N的子集合,记作或
注：每个集合都是它自身的子集合,空集是任一集合的子集合
交
设M,N为两个集合,既属于M由属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交,记作
注：
并
属于集合M或属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并,记作
注：
映射
映射使元素与元素对应,记作,a'称为a在映射下的像,a称为a'在映射下的一个原像
注：
1.M到M自身的映射,称为M到自身的变换
2.集合M到集合M'的两个映射与,若对M的每个元素,都有,则称它们相等,记作
例：
1.M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义,是M到P的一个映射
2.M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义,是P到M的一个映射
恒等映射(单位映射)
设M为一集合,定义,即把每个元素映到它自身,称为集合M的恒等映射或单位映射,记作,可简记作1
函数
任意一个定义在全体实数上的函数都是实数集合到自身的映射,故函数可认为是映射的一个特殊情形
映射乘法
设分别是集合M到M',M'到M''的映射,乘积为一个M到M''的映射
注：
1.对集合M到M'的任一映射,显然
2.映射的乘法适合结合律,设分别为集合M到M',M'到M'',M''到M'''的映射,则
证明：
满射
设是集合M到M'的一个映射,表示M在映射下像的全体,称为M在映射下的像的集合,显然,若,则称映上的,或满射
例：M是全体整数的集合,M'是全体偶数的集合,定义是M到M'的满射
证明：
单射
若在映射下,M中不同元素的像也一定不同,即由一定有,则称映射为1-1的或单射
双射
一个映射若既是单射又是满射则称为1-1对应或双射
注：对有限集合来说,两个集合间存在双射的充要条件为它们所含元素个数相同
对有限集合M及其子集M',,M与M'不能建立双射
对无限集合不一定成立
例：M是全体整数的集合,M'是全体偶数的集合,定义是M到M'的满射
M'为M的真子集
逆映射
对M到M'的双射,逆映射记作,为满射,故M'中每个元素都有原像,是单射,M'中每个元素都只有一个原像,,当
显然,是M'到M的一个双射,且
注：若分别为M到M',M'到M''的双射,则为M到M''的一个双射