一、问题
求有根树的任意两个节点的最近公共祖先（一般来说都是指二叉树）。最近公共祖先简称LCA（Lowest Common Ancestor）。例如，如下图一棵普通的二叉树。
结点3和结点4的最近公共祖先是结点2，即LCA（3，4）=2 。在此，需要注意到当两个结点在同一棵子树上的情况，如结点3和结点2的最近公共祖先为2，即 LCA（3，2）=2。同理：LCA（5，6）=4，LCA（6，10）=1。
明确了题意，咱们便来试着解决这个问题。直观的做法，可能是针对是否为二叉查找树分情况讨论，这也是一般人最先想到的思路。除此之外，还有所谓的Tarjan算法、倍增算法、以及转换为RMQ问题（求某段区间的极值）。后面这几种算法相对高级，不那么直观，但思路比较有启发性，留作以后了解一下也有裨益。
二、思路
解法一：暴力解法，在有parent指针的情况下，对两个节点依次向上回溯，直到两个节点相同，那么这个节点就是最近公共祖先。时间复杂度为O(n²)
解法二：链表的交叉，在有parent指针的情况下，对两个节点分别到根节点的路径上的节点形成两个链表，因为两个链表很大可能不一样长，然后我们可以对其中长的一个链表从开头进行裁剪，形成两个链表长度一样，然后遍历直到相等，虽说优化了一点，但本质上还是暴力破解。
解法三：借用数组和列表，在没有parent指针的情况，我们只能从根节点往下遍历，而不能进行往上回溯。所以可以借用数组或列表来保存数据，后面进行比对。和链表的交叉差不多。
解法四：不借用额外的数据结构，没有parent指针。大概思路呢就是如果两个节点分属在根节点的两边，返回根节点，如果两个节点同在左子树或右子树，递归求解。
解法五：这种解法现在不太懂，现在留作记录以后观看。其中解法四和解法五在代码中体现。
三、代码
1 import java.util.ArrayList; 2 import java.util.List; 3 4 public class LCA { 5 public int getLCA(int a, int b) { 6 TreeNode<Integer> root = of(10); 7 8 TreeNode<Integer> lca = getLCA2(root, new TreeNode<Integer>(a), new TreeNode<Integer>(b)); 9 return lca == null ? -1 : lca.val; 10 } 11 12 //=====解法四=========== 13 // 看两个节点是否在同一侧 14 private TreeNode<Integer> getLCA(TreeNode<Integer> root, TreeNode<Integer> p, TreeNode<Integer> q) { 15 if (root == null) 16 return null; 17 if (root.equals(p) || root.equals(q)) 18 return root; 19 20 boolean is_p_on_left = cover(root.left, p); 21 boolean is_q_on_right = cover(root.right, q); 22 if (is_p_on_left == is_q_on_right) {// 在root的两端 23 return root; 24 } else if (is_p_on_left) {// 在root的左端 25 return getLCA(root.left, p, q); 26 } else { 27 return getLCA(root.right, p, q); 28 } 29 } 30 31 // 解法五 32 // 很难理解 递归定义不明确 第一次看到 33 private TreeNode<Integer> getLCA2(TreeNode<Integer> root, TreeNode<Integer> p, TreeNode<Integer> q) { 34 if (root == null) 35 return null; 36 if (root.equals(p) && root.equals(q)) 37 return root; 38 39 // x是lca，或者是p（p在这一侧），或者是q（q在这一侧），或者是null（pq都不在这一侧） 40 TreeNode<Integer> x = getLCA2(root.left, p, q); 41 if (x != null && !x.equals(p) && !x.equals(q)) {// 在左子树找到了lca 42 return x; 43 } 44 45 TreeNode<Integer> y = getLCA2(root.right, p, q); 46 if (y != null && !y.equals(p) && !y.equals(q)) {// 在右子树找到了lca 47 return y; 48 } 49 50 // x：p,q,null y :q,p,null 51 if (x != null && y != null) {// 一边找着一个 52 return root; 53 } else if (root.equals(p) || root.equals(q)) { 54 return root; 55 } else { 56 return x == null ? y : x;// 有一个不为null，则返回，都为null，返回null 57 } 58 } 59 60 /** 61 * 判断x节点是否在n所代表的子树中 62 * 63 * @param n 64 * @param x 65 * @return 66 */ 67 private boolean cover(TreeNode<Integer> n, TreeNode<Integer> x) { 68 if (n == null) 69 return false; 70 if (n.equals(x)) 71 return true; 72 return cover(n.left, x) || cover(n.right, x); 73 } 74 75 public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) { 76 // 发现目标节点则通过返回值标记该子树发现了某个目标结点 77 if (root == null || root.equals(p.val) || root.equals(q)) 78 return root; 79 // 查看左子树中是否有目标结点，没有为null 80 TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q); 81 // 查看右子树是否有目标节点，没有为null 82 TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q); 83 // 都不为空，说明左右子树都有目标结点，则公共祖先就是本身 84 if (left != null && right != null) 85 return root; 86 // 如果发现了目标节点，则继续向上标记为该目标节点 87 return left == null ? right : left; 88 } 89 90 static TreeNode<Integer> of(int n) { 91 List<TreeNode<Integer>> list = new ArrayList<TreeNode<Integer>>(); 92 for (int i = 0; i < n; i++) { 93 list.add(new TreeNode<Integer>(i + 1)); 94 } 95 for (int i = 0; i < n; i++) { 96 TreeNode<Integer> parent = list.get(i); 97 if (i * 2 + 1 < n) { 98 TreeNode<Integer> left = list.get(i * 2 + 1); 99 parent.left = left; 100 left.parent = parent; 101 } else 102 break; 103 if (i * 2 + 2 < n) { 104 TreeNode<Integer> right = list.get(i * 2 + 2); 105 parent.right = right; 106 right.parent = parent; 107 } 108 } 109 return list.get(0); 110 } 111 112 private static class TreeNode<T> { 113 public T val; 114 public TreeNode<T> left = null; 115 public TreeNode<T> right = null; 116 TreeNode<T> parent; 117 118 public TreeNode(T val) { 119 this.val = val; 120 } 121 122 @Override 123 public boolean equals(Object o) { 124 if (this == o) 125 return true; 126 if (o == null || getClass() != o.getClass()) 127 return false; 128 129 TreeNode<?> treeNode = (TreeNode<?>) o; 130 131 return val != null ? val.equals(treeNode.val) : treeNode.val == null; 132 } 133 134 @Override 135 public int hashCode() { 136 return val != null ? val.hashCode() : 0; 137 } 138 } 139 }