【模板】最近公共祖先【LCA】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379
给出一个树和$m$组询问，对于每个询问输出两个结点的$LCA$。

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思路：

思路一：树上倍增
树上倍增是$LCA$的基本方法之一。其做法是先将$x$和$y$跳到统一深度上，再利用倍增思想找到两点的$LCA$。
所以要先用$DFS$求出每个点的深度以及它的祖宗，然后在对于每一询问完成上述操作即可。

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思路二：$ST$表
对于一棵树上的两个不同节点$x$和$y$，从根开始跑一遍欧拉序，设$x$在欧拉序中第一次出现的位置为$first[x]$，$y$第一出现的位置是$first[y]$，那么$x$和$y$的$LCA$就是欧拉序中$first[x]$到$first[y]$之间深度最低的（即$min(dep[i])$）节点就是它们的$LCA$。
证明略。但是很明显是正确的。
所以，先跑一边$DFS$求出$first[i]$和欧拉序，再利用$ST$表求出任意区间的最小值（$LCA$）,然后再读入输出即可。
注意！此方法时间较慢，需要输入输出流才能过！

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代码：

树上倍增：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 500030
#define LG 25
using namespace std;

int dep[N+1],head[N+1],lg[LG+1],k,n,m,s,x,y,f[N+1][LG+1];

struct edge  //邻接表
{
    int to,next;
}e[N<<1+1];

void add(int from,int to)
{
    e[++k].to=to;
    e[k].next=head[from];
    head[from]=k;
}

void dfs(int x,int fa)  //求每个点的深度
{
    dep[x]=dep[fa]+1;
    f[x][0]=fa;
    for (int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++)
     f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];  //树上倍增祖宗
    for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
     if (e[i].to!=fa)
      dfs(e[i].to,x);
}

int lca(int x,int y)  //倍增
{
    if (dep[y]>dep[x]) swap(x,y);
    for (int i=LG;i>=0;i--)
     if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];  //到达同一高度
    if (x==y) return x;
    for (int i=LG;i>=0;i--)  //倍增
     if (f[x][i]!=f[y][i])
     {
        x=f[x][i];
        y=f[y][i];
     }
    return f[x][0];
}
int main()
{
    //freopen("lca.in","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    lg[1]=0;lg[2]=1;
    for (int i=3;i<=LG;i++)
     lg[i]=lg[i>>1]+1;  //预处理
    dfs(s,0);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",lca(x,y));
    }
    return 0;
}

$ST$表：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 500020
#define LG 20
using namespace std;

int first[N<<1+1],dep[N<<1+1],vis[N<<1+1],rmq[N<<1+1][LG],num[N<<1+1][LG],head[N<<1/+1];
int n,m,s,k,sum,x,y,z;

struct edge
{
    int next,to;
}e[N<<1+1];

int f;
char c;

int read()  //输入流
{
    f=0;
    while(c=getchar(),c<=47||c>=58);f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),c>=48&&c<=57) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return f;
}

void write(int x)  //输出流（可以不用）
{
    if(x>9) write(x/10);else putchar(x%10+48);
    return;
}

void add(int from,int to)
{
    k++;
    e[k].to=to;
    e[k].next=head[from];
    head[from]=k;
}

void dfs(int x,int k)  //求欧拉序
{
    sum++;
    first[x]=sum;
    dep[sum]=k;
    vis[sum]=x;
    for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if (first[v]) continue;  //这个点已经到达过
        dfs(v,k+1);
        sum++;
        dep[sum]=k;
        vis[sum]=x;
    }
    return;
}

int main()
{
    //freopen("q.txt","r",stdin);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    //scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    n=read();
    m=read();
    s=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        //scanf("%d%d",&x,&y);
        x=read();
        y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }

    dfs(s,1);

    for (int i=1;i<=sum;i++)  //预处理
    {
        rmq[i][0]=dep[i];
        num[i][0]=vis[i];
    }
    for (int j=1;j<=log2(sum);j++)
     for (int i=1;i+(1<<j)-1<=sum;i++)  //ST表，RMQ
      if (rmq[i][j-1]<rmq[i+(1<<(j-1))][j-1])
      {
         rmq[i][j]=rmq[i][j-1];
         num[i][j]=num[i][j-1];
      }
      else
      {
         rmq[i][j]=rmq[i+(1<<(j-1))][j-1];
         num[i][j]=num[i+(1<<(j-1))][j-1];
      }   
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        //scanf("%d%d",&x,&y);
        x=read();
        y=read();
        if (first[x]>first[y]) swap(x,y);
        x=first[x];
        y=first[y];
        z=log2(y-x+1);  //求log
        if (rmq[x][z]>rmq[y-(1<<z)+1][z]) 
         printf("%d\n",num[y-(1<<z)+1][z]);
        else printf("%d\n",num[x][z]);
        //putchar(10);
    }
    getchar();getchar();
    return 0;
}