（三）最小二乘法

最小二乘法（Least squares）

  最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。

1.最小二乘法的原理与要解决的问题　

  最小二乘法是由勒让德在 19 世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：

$$目标函数 = \sum (观测值 - 理论值)^2$$
  观测值就是我们的 多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。 目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
$$（x^{(1)},y^{(1)}）,（x^{(2)},y^{(2)}）,...,（x^{(m)},y^{(m)}）$$
  样本采用下面的拟合函数：
$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x$$
  这样我们的样本有一个特征 x，对应的拟合函数有两个参数 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 需要求出。
  我们的目标函数为：
$$J(\theta_0,\theta_1) = \sum_{i=1}^m{(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))}^2 = \sum_{i=1}^m{(y^{(i)} - \theta_0 -\theta_1x^{(i)})}^2$$
  用最小二乘法做什么呢，使 $J(\theta_0,\theta_1)$最小，求出使 $J(\theta_0,\theta_1)$最小时的 $\theta_0$ 和 $\theta_1$，这样拟合函数就得出了。
  那么，最小二乘法怎么才能使 $J(\theta_0,\theta_1)$最小呢？

2.最小二乘法的代数法解法

  上面提到要使 $J(\theta_0,\theta_1)$ 最小，方法就是对 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于 $\theta_0$ 和 $\theta_1$的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到 $\theta_0$ 和 $\theta_1$的值。下面我们具体看看过程。
  $J(\theta_0,\theta_1)$对 $\theta_0$ 求导，得到如下方程：

$$\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1x^{(i)}) = 0\quad\quad\quad(a)$$
  $J(\theta_0,\theta_1)$对 $\theta_1$ 求导，得到如下方程：
$$\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1x^{(i)})x^{(i)} = 0\quad\quad\quad(b)$$
  a 和 b组成一个二元一次方程组，容易求出 $\theta_0$ 和 $\theta_1$的值：
$$\theta_0 = \sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} -\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2$$
$$\theta_1 = m\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} -\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2$$
  这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
  拟合函数表示为 $h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 +\theta_{1}x_1 + ... +\theta_{n}x_{n}$, 其中 $\theta_i \ (i = 0,1,2... n)$为模型参数， $x_i\ (i = 0,1,2... n)$为每个样本的 $n$个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征 $x_0 = 1$ ，这样拟合函数表示为：
$$h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}$$
  损失函数表示为：
$$J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{j=1}^{m}(h_\theta(x_0^{(j)}), x_1^{(j)}, ...x_n^{(j)})) - y^{(j)}))^2 = \sum\limits_{j=1}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(j)}- y^{(j)})^2$$
  利用损失函数分别对 $\theta_i$(i=0,1,…n)求导,并令导数为0可得：
$$\sum\limits_{j=0}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}(\theta_{i}x_{i}^{(j)} - y^{(j)})x_i^{(j)} = 0 \quad(i = 0,1,...n)$$
  这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的 $\theta$。
  这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。

3.最小二乘法的矩阵法解法

  矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。
  这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。
  假设函数$h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 +\theta_{1}x_1 + ... +\theta_{n}x_{n}$ 的矩阵表达方式为：

$$h_\theta(x) = X\theta$$
  其中， 假设函数 $h_\theta(x)$为m x 1的向量, $\theta$ 为n x 1的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。 $X$ 为m x n维的矩阵。m 代表样本的个数，n 代表样本的特征数。
  损失函数定义为 $J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} -\mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} -\mathbf{Y})$
  其中 $Y$是样本的输出向量，维度为m x 1. $\frac{1}{2}$ 在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。
  根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对 $\theta$向量求导取0。结果如下式：
$$\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}J(\mathbf\theta) = \mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} -\mathbf{Y}) = 0$$
  这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个矩阵求导的公式。
  公式1： $\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}}(\mathbf{XX^T}) =2\mathbf{X}$
  公式2： $\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}(\mathbf{X\theta}) =\mathbf{X^T}$
  对上述求导等式整理后可得：
$$\mathbf{X^{T}X\theta} =\mathbf{X^{T}Y}$$
  两边同时左乘 ${(X^TX)}^{-1}$可得：
$$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$$
  这样我们就一下子求出了 $\theta$ 向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用 $\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$算出 $\theta$。

4.最小二乘法的局限性和适用场景　　

  从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

  首先，最小二乘法需要计算$X^TX$的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让$X^TX$的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。

  第二，当样本特征n非常的大的时候，计算$X^TX$的逆矩阵是一个非常耗时的工作（n x n的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。

  第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。

  第四，讲一些特殊情况。当样本量 m 很少，小于特征数 n 的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量 m 等于特征数 n 的时候，用方程组求解就可以了。当 m 大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。