数据结构（四）图

1.图的概念

1.1图的定义：

图是一个由顶点集合V和一个弧集R构成的数据结构。

ADT Graph { 数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。数据关系R： R = {VR} VR = {<v,w>|v,w

谓词P(v,w)定义了<v,w>的意义或信息 }

1.2 图的重要术语

（1）无向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E 是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。

（2）有向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E 是有序的，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。

（3）无向完全图：在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直接边相连接，则称该图为无向完全图。在一个含有 n 个顶点的无向完全图中，有 n(n-1)/2 条边。

（4）有向完全图：在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。在一个含有 n 个顶点的有向完全图中，有 n(n-1)条边。

（5）稠密图、稀疏图：若一个图接近完全图，称为稠密图；称边数很少（e<nlogn）的图为稀疏图。

（6）顶点的度、入度、出度：顶点的度（degree）是指依附于某顶点 v 的边数，通常记为 TD (v)。在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。顶点 v 的入度是指以顶点为终点的弧的数目，记为 ID (v)；顶点 v 出度是指以顶点 v 为始点的弧的数目，记为 OD (v)。 TD (v)=ID (v)＋OD (v)。可以证明，对于具有 n 个顶点、e 条边的图，顶点 vi的度 TD (vi)与顶点的个数以及边的数目满足关系：

（（）

（7）边的权、网图：与边有关的数据信息称为权（weight）。在实际应用中，权值可以有某种含义。边上带权的图称为网图或网络（network）。如果边是有方向的带权图，则就是一个有向网图。

（8）路径、路径长度：顶点 vp到顶点 vq之间的路径（path）是指顶点序列 vp,vi1,vi2, …, vim,vq.。其中，（vp,vi1），(vi1,vi2)，…,(vim,.vq)分别为图中的边。路径上边的数目称为路径长度。

（9）简单路径、简单回路：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除第一个顶点与后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。

（10）子图：对于图 G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在 V’是 V 的子集，E’是 E 的子集，则称图 G’是 G 的一个子图。

（11）连通图、连通分量：在无向图中，如果从一个顶点 vi到另一个顶点 vj(i≠j)有路径，则称顶点 vi和 vj是连通的。如果图中任意两顶点都是连通的，则称该图是连通图。无向图的极大连通子图称为连通分量。

（12）强连通图、强连通分量：对于有向图来说，若图中任意一对顶点 vi 和 vj(i≠j)均有从一个顶点 vi到另一个顶点 vj有路径，也有从 vj到 vi的路径，则称该有向图是强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分量。

（13）生成树：所谓连通图 G 的生成树，是 G 的包含其全部 n 个顶点的一个极小连通子图。它必定包含且仅包含 G 的 n-1 条边。在生成树中添加任意一条属于原图中的边必定会产生回路，因为新添加的边使其所依附的两个顶点之间有了第二条路径。若生成树中减少任意一条边，则必然成为非连通的。

（14）生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可得到一个极小连通子图，即一棵生成树。这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

2.图的存储及基本操作