01 牛顿迭代公式

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设 r 是f(x) = 0的根，选取 $x_0$ 作为r的初始近似值，过点 $(x_0,f(x_0))$ 做曲线 $y = f(x)$ 的切线L，L的方程为 $y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$，求出L与x轴交点的横坐标 $x_1 = x_0-f(x_0)/f'(x_0)$, 称 $x_1$是 $r$的一次近似。

过点 $(x_1,f(x_1))$做曲线 $y=f(x)$定位切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，也就是当 $y=0$时， $x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)$,称为r的二次近似值

重复以上过程，得r的近似值序列，其中， $x_n+1 = x_n-f(x_n)/f'(x_n)$是r的n+1次近似根，这个式子也称作牛顿迭代公式。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。

02 Python实现

def newton(x0, niter,threshold, f, f_grade):
    iter = 0
    while niter>0:
        x1 = x0 - f(x0)/f_grade(x0)
        if f(x1)<threshold:
            break
        x0 = x1
        iter +=1
        print(str(iter)+"x="+str(x1))
        niter-=1
    return x1

s = newton(50, 100, 1e-10, lambda x:x*x-11*x+10, lambda x: 2*x - 11)
print('solve = '+ str(s))

结果为：

1x=27.97752808988764
2x=17.189213932471937
3x=12.210790103826884
4x=10.364159272422459
5x=10.013631541265838
6x=10.000020584192082
7x=10.000000000047079
solve = 10.0

方程为 $f(x)= x^2-11×x+10$
依次求导后公式为： $f'(x) = 2×x - 11$
r = 10

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