5.4 时序模型： 餐饮业销售和生产同时，需要预测销售，防止产品滞销或者备料不足，以做到按·减小库存降低物流成本，生产准时 餐饮：基于时间序列的短期数据预测，{Xt，t=1,2,3,…n},序列长度为n的观察值序列
| 模型 |
描述 |
| 平滑法 |
趋势分析和预测，利用技术，削弱短期随机波动对于数据的影响，使得序列平滑化。方法：移动平滑法，指数平滑法 |
| 趋势拟合法 |
将时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立回归模型，根据序列的特征，可分为线性拟合和曲线拟合 |
| 组合模型 |
时间序列的变化主要受长期趋势(T),季节变动(S),周期变动(C),不规则变动(epsilon)4个因素影响，根据序列的特点，可构建加法模型和乘法模型 xt=Tt+St+Ct+epsilon_t |
| AR模型 |
xt=k0+k1x(t-1)+k2*x(t-2)+k3*x(t-3)+…+kp*x(t-p) 前p个观测值作为序列自变量，随机变量Xt的取值xt为因变量建立线性回归模型 |
| MA模型 |
随机变量Xt的取值xt与前p期的序列值无关，而与前p期的随机扰动有关，建立线性回归模型 xt=μ+εt+theta1*εt-1+theta2*εt-2+。。。。+theta_p*εt-p |
| ARMA模型 |
结合AR和MA模型，xt=k0+k1x(t-1)+k2*x(t-2)+k3*x(t-3)+…+kp*x(t-p)+ μ+εt+theta1*εt-1+theta2*εt-2+。。。。+theta_p*εt-p |
| ARIMA模型 |
许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，称这个非平稳序列为差分平稳序列，对于差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合 |
| ARCH模型 |
准确模拟时间序列变量的波动性情况，适用于序列具有异方差性 并且 异方差函数短期自相关 |
| GARCH模型 及其 衍生模型 |
广义ARCH模型，更能反映实际时间序列的长期记忆行，信息非对称性等性质。 |
时间序列的预处理： 拿到随机序列后，首先要对他的随机性和平稳性进行检验。不同的检验结果，分为不同的类型，采取不同的分析方法。
纯随机序列（白噪声序列）： 序列的各项之间没有任何相关关系，序列再进行完全无序的随机波动，可以终止对该序列的分析 平稳非白噪声序列： 均值与方差是常数， 已经有一套非常成熟的平稳序列建模方法。通常建立线性模型来拟合该序列的发展，借此提取序列的有用信息，ARMA模型最常用的平稳序列分析模型 非平稳序列： 均值方差并不稳定，处理：转换为平稳序列，然后应用有关平稳序列分析的方法，如建立ARMA模型来进行相应的研究。如果一个序列经过差分处理后变为平稳序列，差分平稳序列，应用ARIMA模型 平稳性检验： 平稳时间序列的定义： 随机变量{X},计算其均值与方差，对于X，Y，计算X，Y之间的协方差cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)],和自相关系数，这两个参数度量了两个不同时间之间的影响程度 计算Xt和Xs之间的自协方差和自相关系数，衡量了同一事件不同时期的相关程度，也就是过去的行为对现在的影响， 如果时间序列{Xt}在某一常数值附近波动而且范围有限，有常数均值和常数方差，并且延迟k期的序列的自协方差和自相关系数 是相等的 ，或者延迟K期的影响程度是一场的，则称为平稳序列 |
平稳性检验
|
均值方差均为常数 时序图应该在某一个常数范围波动，范围有界 如果有明显的趋势和周期性，则不是平稳序列
平稳序列具有短期相关性，通常只有近期的序列值对现时的值有影响，间隔远的过去值对现时值的影响较小，随着延迟期数k的增加，平稳序列的自相关系数会较快衰减到0，并在0值附近随机波动 而非平稳序列的自相关系数的衰减速度比较慢。
属于统计量检验法。如果序列中存在单位根，就是非平稳时间序列
理论上：序列值之间没有任何关系 实际的纯随机序列的自相关函数不会为0，很接近0，并在0周围随机波动。 构造统计量来检验序列的纯随机性，Q统计量，LB统计量，样本的各延迟期数 的自相关系数计算得到的检验统计量（Q统计量，LB统计量），然后计算P值，如果p值显著大于显著性水平alpha，表示不能拒绝纯随机的原假设，可以停止对该序列的分析。 |
平稳时间序列分析：
|
AR(P): p阶自回归模型
均值： E(xt)=E(φ0+φ1*x(t-1)+….+φp*x(t-p)+εt) =μ μ=φ0/(1-φ1-φ2-…-φp) 方差： AR(p)方差有界，等于常数 自相关系数（ACF）： ρ(t,t-k)=cov(Xt,X(t-k))/[sigma(t)sigma(t-k)] 随着k的增大呈指数衰减，始终有非0值，不会在k待遇某个值之后恒等于0，ρk具有拖尾性。 偏自相关系数(PACF): 平稳AR(p)模型，延迟k期的自相关函数，实际上并不是Xt与X(t-k)之间单纯的相关关系，Xt会同时受到X(t-1),X(t-2), … 等的影响，所以自相关系数中参杂了其他变量的影响。为了单纯测度X(t-k) 对于X(t)的影响，引进偏相关系数概念 平稳AR(p)模型的 偏自相关系数 具有P阶结尾性。 此性质同前面的自相关系数的拖尾性 是 AR(p) 模型的重要识别依据
| 均值 |
常数均值 |
方差 |
常数 |
| 自相关系数 |
拖尾 |
偏自相关系数 |
P阶结尾性 |
随机变量Xt的取值xt与前p期的序列值无关，而与前p期的随机扰动有关，建立线性回归模型 xt=μ+εt+theta1*εt-1+theta2*εt-2+。。。。+theta_p*εt-p
| 均值 |
常数均值 |
方差 |
常数 |
| 自相关系数 |
q阶截尾 |
偏自相关系数 |
拖尾 |
结合AR和MA模型，xt=k0+k1x(t-1)+k2*x(t-2)+k3*x(t-3)+…+kp*x(t-p)+ μ+εt+theta1*εt-1+theta2*εt-2+。。。。+theta_p*εt-p
| 均值 |
常数均值 |
方差 |
常数 |
| 自相关系数 |
拖尾 |
偏自相关系数 |
拖尾 |
|
平稳时间建模：
| 某个时间序列经过预处理，被判定为 平稳非白噪声序列，可以利用ARMA模型进行建模。
- 计算ACF和PACF。先计算非平稳白噪声序列的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）
- 计算 自相关系数 和 偏自相关系数，再由AR(P),MA(q),ARMA(p,q) 自相关系数 偏自相关系数的性质，选择合适的模型。
- 估计模型中的未知参数，并进行检验
- 优化模型
- 模型应用：预测未来走势，短期预测
非平稳时间序列分析： 自然界 更多的是 非平稳的时间序列（更多 更普遍 更加重要，分析方法也更多一些）。 确定性因素分解的时序分析： 长期走势，季节变动，循环变动，随机波动 à 综合影响 随机波动 造成的影响 难以提取，难以确定和分析，模型拟合精度不够 随机时序分析： 弥补了确定性因素分解分析的不足。 模型： ARIMA模型
残差自回归模型
季节模型
异方差模型
1. 差分运算
1阶差分运算：相聚一期的两个序列值之间的减法运算
K步差分运算: 相距k期的两个序列值之间的减法运算
2. ARIMA模型：
差分运算与ARMA模型的融合 案例： 平稳性检验 单调递增，非平稳序列，自相关显示 相关系数长期大于0，序列具有长期相关性；单位根检验统计量 对应的p值显著大于.05,最终将该序列判断为非平稳序列 对非平稳序列做一阶差分，进行平稳性和白噪声检验： 均值附近平稳波动，自相关系数哟很强的短期相关性，序列是 平稳白噪声序列 对差分后的平稳白噪声序列 应用ARMA 模型，定阶确定（p,q）,计算ARMA(p,q)，p,q均小于等于3，的所有 组合的BIC信息量，取其中BIC信息量最小的的模型阶数。 模型检验，残差为白噪声序列，p值为：.627 参数检验 参数估计 预测 |
| |
python主要时序模型算法
| 函数名 |
功能 |
所属工具箱 |
| acf() |
计算自相关函数 |
statsmodels.tsa.stattools |
| plot_acf() |
绘制自相关函数 |
statsmodels.graphics.tsaplots |
| pacf() |
计算偏相关函数 |
statsmodels.tsa.stattools |
| plot_pacf() |
画偏相关函数 |
statsmodels.graphics.tsaplots |
| adfuller() |
对观测值序列进行单位根检测 |
statsmodels.tsa.stattools |
| diff() |
对观测值序列进行查分计算 |
pandas自带方法 |
| ARIMA() |
创建ARIMA模型 |
statsmodels.tsa.arima_model |
| summary() or summaty2 |
给出一份ARIMA模型报告 |
ARIMA模型自带方法 |
| aic/bic/hqic |
计算ARIMA模型的AIC/BIC/HQIC指标 |
ARIMA方法自带方法 |
| forecast() |
应用构建的时序模型进行预测 |
ARIMA方法自带方法 |
| acorr_ljungbox() |
Ljung-Box检测，检测是否为白噪声 |
statsmodels.stats.diagnostic |
| acf() |
计算自相关函数 |
statsmodels.tsa.stattools |
使用格式： autoarr=acf(data,unbiased=False,nlags=40,qstat=False,fft=False,alpha=None) data是观测序列（时间序列，可以使dataframe或者series），返回参数autocorr为观测值自相关函数，其余 为可选参数，qstat=True 同时返回Q统计量和对应p值
| plot_acf() |
绘制自相关函数 |
statsmodels.graphics.tsaplots |
返回matplotlib对象，可以.show()来进行显示
| pacf() |
计算偏相关函数 |
statsmodels.tsa.stattools |
计算自相关函数，同acf()
| pacf() |
计算偏相关函数 |
statsmodels.tsa.stattools |
同pacf()
| adfuller() |
对观测值序列进行单位根检测 |
statsmodels.tsa.stattools |
对观测值序列进行单位根检验（ADF test） h=adfuller(series,maxlag=None,regression=’c’,autolag=’AIC’,store=False,regresults=False) 输入series为一维的观测序列值，返回值依次为adf,pvalue,usedlag,nobs,critical values,icbest,regresults,resstore
| diff() |
对观测值序列进行查分计算 |
pandas自带方法 |
功能：对序列值进行差分运算 D.diff() DataFrame or Series 格式均可
| ARIMA() |
创建ARIMA模型 |
statsmodels.tsa.arima_model |
设置时序模型的建模参数，创建ARIMA模型 arima=ARIMA(data,(p,1,q)).fit() data是时间序列，p,q是对应的阶数，d为差分次数
| summary() or summaty2 |
给出一份ARIMA模型报告 |
ARIMA模型自带方法 |
arima已经建好模型，返回一份格式化的报告，包含模型的系数，标准误差，p值，AIC和BIC等详细指标
| aic/bic/hqic |
计算ARIMA模型的AIC/BIC/HQIC指标 |
ARIMA方法自带方法 |
| forecast() |
应用构建的时序模型进行预测 |
ARIMA方法自带方法 |
a,b,c=arima.forecast(num) num是要预测的天数，a是预测值，b是预测误差，c为预测置信区间
| acorr_ljungbox() |
Ljung-Box检测，检测是否为白噪声 |
statsmodels.stats.diagnostic |
检测是否为白噪声序列， acorr_ljungbox(data,lags=1) lags是滞后数，返回统计量和p值
|