惯导1-哥氏定理理解

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惯导学习中遇到了很多很多次的哥氏定理，抓住这次机会，好好学一学。

1. 定义

哥氏定理，又被称为科里奥利定理，常常用于坐标系之间的速度、加速度转换。
很简单它就是不同坐标系之间速度和加速度的变换定理。
更深入的了解请看科里奥利力、科里奥利力原理。

2. 自己的理解

写一下核心的知识点，便于自己以后回顾。
几个概念要先说明一下。

1. 坐标系
   地心惯性系：坐标系不跟随地球转动而转动，相当于静态坐标系。
   地球坐标系：与地球固联在一起，跟着地球一起转动，相当于动态坐标系。
2. 两个点
   动点和牵连点。
   例如：将固联在船上的坐标系称为动态坐标系，固联在地球表面的坐标系称为静态坐标系，在船上的人可称为动点。与动点相重合的动坐标系上的点称为牵连点。
3. 几个速度矢量，具体定义就不解释了。
   $ v _a $：绝对速度，动点相对于静系的速度。
   $ v_e $：牵连速度，牵连点相对于静系的速度。
   $ v_r $：相对速度，动点相对于动系的速度。

2.1 哥氏定理中的速度方程

所以有：
$v_a=v_r+v_e$
一张图解释了全部

所以有 $v_{e1}=\omega\times OM_1$
即可得到：
$v_a=v_r+\omega\times OM_1$
取一般情况，在转轴上随便取一点 $O$，引 $O$到动点的向量为 $R$，则与动点重合的牵连点相对 $O$的速度（牵连速度） 为 $\omega\times R$
再放一张图，解释的就更清楚了

这张图中关于加速度的内容到下一节再具体讲。
所以哥氏定理的速度转换方程为：
$V_i=V_e+\omega_{ie}\times R$
其中 $R$是静态系原点到动点的向量。 $i$表示静态系（地心系）， $e$表示动态系（地球系）。

2.2 格式定理中的加速度方程

难点在于p14页，相对加速度。

1. 首先要理解相对加速度和绝对加速度。
   先盗图
   
   按我自己的理解，比如说,绝对速度 $v_a=\frac{dr}{dt}$，相对速度 $v_r=\frac{dr_r}{dt}$。
   $dr$是图中的 $\Delta A$， $dr_r$是图中的$\Delta\tilde A $
   所以绝对加速度和相对加速度也一样，
   绝对加速度： $a_a=\frac{dv_a}{dt}$
   但是,重点来了，相对加速度就不一样了， $a_r\neq\frac{dv_r}{dt}$，你可能会问这是为什么呢，相速度的导数不就是相对加速度吗，错了，为此我自己画了个图，看完图就完全理解了。
   
   所以，相对加速度计算公式为：
   $a_r=\frac{dv_r}{dt}+\omega\times v_r$
2. 牵连加速度
   用到了上一节的图
   
   $a_e=\varepsilon\times R+\omega\times v_e=\varepsilon\times R+\omega\times(\omega\times R)$
3. 求加速度方程
   先抄一遍速度方程
   $v_a=v_r+\omega_{ie}\times R$
   等式两边求导
   $\begin{aligned} a_a&=\frac{dv_a}{dt}=\frac{dv_r}{dt}+\frac{d(\omega\times R)}{dt}\\ &=\frac{dv_r}{dt}+\omega\times\frac{dR}{dt}+\frac{d\omega}{dt}\times R\\ \end{aligned}$
   因为
   $\begin{aligned} \omega\times\frac{dR}{dt}&=\omega\times(v_r+\omega\times R)\\ &=\omega\times v_r+\omega\times(\omega\times R) \end{aligned}$
   所以带入得
   $\begin{aligned} a_a&=\frac{d\omega}{dt}\times R+\omega\times v_r+\omega\times(\omega\times R)+a_r+\omega\times v_r\\ &=a_r+a_e+2\omega\times v_r \end{aligned}$
   称 $a_k=2\omega\times v_r$为科氏加速度。
   所以
   $a_a=a_r+a_e+a_k$
   所以科里奥利力为：
   $F_k=-ma_k=-2m\omega\times v_r$

参考：

https://blog.csdn.net/Pro2015/article/details/82343757