多维数组和广义表（C++）

线性表、栈、队列和串都是线性表的数据结构，他们的逻辑结构特征是：每个数据元素之多有一个直接前趋和直接后继。对于多维数组和广义表是一种复杂的非线性结构，它们的逻辑特征是：一个元素可能有多个直接前趋和多个直接后继。

一、数组概念

一维数组
可以看成是一个线性表或一个向量，在计算机中是一段连续的存储单元，适用于随机查找。
二维数组

由图可以知道，每个元素最多由两个直接前驱和两个直接后继（边界除外），故是一种典型的非线性结构。

多维数组最多有多个直接前驱和直接后继，也是非线性结构。

多维数组在计算机内的存储
由于内存结构是一维的，故必须按照某种次序将数组元素排成一个线性序列。

二、多维数组的存储结构

数组是先定义后使用，且为静态分配存储单元，所以采用顺序存储。有行优先顺序存储、列优先顺序存储。

对于数组 A(nxm)
1. 行优先顺序存储

(ａ11->a12->a13->...a1n)->(a21->a22->a23->...a2n)->...(am1->...->amn)

最左边下标变化慢，做ｆｏｒ外层循环；右边变化快，做ｆｏｒ内层循环。

ａij地址：前面有ｉ行（ｉ×ｎ），改行前面有ｊ个元素

LOC(ａij) = LOC(a00) + (i*n+j)*d  // d为每个元素所占空间大小
// 三维数组
LOC(ａijk) = LOC(a000) + (i*n*p+j*p+k)*d

2 . 列优先顺序存储

(ａ11->a21->a31->..an1)->(a12->a22->a32->...an2)->(a1m->a2m->...->anm)

最又边下标变化慢，做ｆｏｒ外层循环；左边变化快，做ｆｏｒ内层循环。

ａij地址：前面有ｊ列（ｊ×m），改行前面有i个元素

LOC(ａij) = LOC(a00) + (j*m+i)*d  // d为每个元素所占空间大小
// 三维数组
LOC(ａijk) = LOC(a000) + (j*m*p+i*p+k)*d

三、　特殊矩阵的压缩存储

所谓压缩，即当矩阵元素分布呈某种规律时，可以多个元素共用一个存储单元，以实现节约存储单元。简单的说，就是多个值相同的元素只分配一个存储单元，值为０的不分配空间。

可以理解为将二维数组（矩阵）压缩到一个存储单元数目少的一维数组中。而为了方便存储后直接找到某元素，还必须给出压缩前下标和压缩后下标之间的变换公式。

１．　对称矩阵

aij = aji  // A(nxn)

这里写图片描述

以矩阵的对角线为分隔，分为上三角和下三角。压缩存储对称矩阵存储时只需要存储上三角/下三角的数据，所以最多存储n(n+1)/2个数据（相当于1+2+…+n,即等差数列求和）。

对称矩阵和压缩存储的对应关系：
（1）下三角存储

// 二维数组为压缩前的元素，一维数组放压缩后的元素
    int s[k], a[i][j];
    if (i >= j) 
        a[i][j] = s[ i*(i+1)/2 + j ]; 
    else(i < j)
        a[i][j] = s[ j*(j+1)/2 + i ];

（2）上三角存储

    int s[k], a[i][j];
    if (i <= j) 
        a[i][j] = s[ i*n-i(i-1)/2 + j-i ]; 
    else(i > j)
        a[i][j] = s[ j*n-j(j-1)/2 + i-j ];

2、三角矩阵
（1）下三角
它的主对角线以上(不包括主对角线)的元素均为常数0（或相同的常数）
其压缩存储与对称矩阵的类似，但必须多一个存储单元存放上三角部分元素，使用的存储单元为n(n+1)/2 + 1

假设仍按行优先存放，有

if (i >= j)
    a[i][j] = s[ i(i+1)/2 + j ];
else (i < j)
    a[i][j] = s[ n(n+1)/2 ];

（2）上三角
它的主对角线以下(不包括主对角线)的元素均为常数0（或相同的常数）

if (i <= j)
    a[i][j] = s[ i*n-i(i-1)/2 + j-i ];
else (i > j)
    a[i][j] = s[ n(n+1)/2 ];

3、对角矩阵
若矩阵中所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，则为对角矩阵，常见的有三对角矩阵，五对角矩阵，七对角矩阵等。这里写图片描述
以三对角矩阵为例：
在一个 n*n 的三对角矩阵中，只有 n+n-1+n-1 个非零元，共需要3n-2 个存储单元，零元不占存储单元。

    int s[3n-2], a[i][j];
    if (i = j+1)
        a[i][j] = s[3i-1];
    else if (i = j)
        a[i][j] = s[3i];
    else (i = i-1)
        a[i][j] = s[3i+1];

4、稀疏矩阵

矩阵阶数大，非零元数目少，零元多，非零元的排列没有规律的矩阵。
由于没有规律，除了存放非零元的值外，还需要适当的辅助信息（行列号）才能迅速确定一个元素。有以下这些存储方法：

（1）三元数组
所谓三元：元素值、行号、列号
整个稀疏矩阵中非零元的三元组合起来称为三元组表。
这里写图片描述
数据类型描述：

#include <iostream>
using namespace stdl;

const int maxsize = 100;
class node
{
public:
    int i,j;  // 非零元行、列号
    int v;    // 非零元值
};
class sparmatrix  // 定义稀疏矩阵
{
public:
    int rows,cols;       // 行、列数 
    int terms;           // 非零元个数
    node data[maxsize];  // 三元组表 
}

（2）带行指针的链表

把具有相同行号的非零元用一个单链表连接起来，稀疏矩阵的N行组成N个单链表，合起来称为带行指针的链表。
这里写图片描述

（3）十字链表

当系数矩阵中的非零元位置或个数经常变动时，三元组就不适合采用了，用链表作为存储结构更合适。

这里写图片描述

每个非零元既是第 i 行循环的一个节点，又是第 j 列的节点，相当于处在十字交叉路口，故称为十字链表。

class linknode
{
public:
    int i,j;  // 行、列号
    linknode *cptr, *rptr;  // 行、列指针
    union vnext   // 定义一个共同体
    {
        int v;   // 表节点使用v域,表示非零元值
        linknode *next; // 表头节点使用next指向下一个表头节点
    } k;
    ...
};

5、广义表

广义表是n个元素的有限序列，其中的每一项可以使原子项，也可以是一个子表。一般用LS表示广义表，ls表示子表。

广义表举例：

 F = （ ）; // F 为空表，长度为0
 G = (a, (b, c)); // 长度为2，第一项为原子，第二项为子表
 H = (x,y,z); // 长度为3，都是原子
 D = (B,C); // 都是子表
 E = (a,E); // 长度为2，一个原子一个子表

这里写图片描述

广义表的深度 = 括号层数

分类：
（1）线性表：元素都是原子
（2）纯表：元素都是原子或都是子表，与树对应，如图（a）(d)
（3）再入表：与图对应，允许节点共享，如 (d)
（4）递归表：如图(e) D = (a, D);

多维数组和广义表（C++）

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