浅谈我对（扩展）Lucas定理的理解

可能是太太太久没有用这个定理了，考场上都不记得有这个东西，然后自己推了个组合数取模（模数是一个质数p，且p比较小），考后发现就是Lucas定理，可以说是顺推出了Lucas定理，而不是有了结论再去证明。

目标：
求 $C_{n}^m(mod~p)$ ，p是质数，且比较小。

step1：

考虑如何求 $n!(mod~p)$ ？

当然是把p的倍数先提出来，然后剩下的数 $mod~p$ 之后就是 $1,2,…,p-1$ 的周期。

∴ $n!(mod~p)$
$=(p-1)!^{n/p}*(n~mod~p)!*p^{n/p}*(n/p)!$

step2：

$C_{n}^m(mod~p)$
${n!\over m!*(n-m)!}$

先考虑它含 $p$ 的幂次为0的条件是什么？
就是 $(n/p-m/p-(n-m)/p)=0$
那么其实就是 $n~mod~p>=m~mod~p$

因为 $n/p=m/p+(n-m)/p$ ，所以刚才 $n!$ 中的 $(p-1)!^{n/p}$ 这一项就被消掉了。

再代入得：
$= [n~mod~p>=m~mod~p]* {(n~mod~p)!\over(m~mod~p)!*((n-m)~mod~p)!} *{(n/p)!\over(m/p)!*((n-m)/p)!}$

$[n~mod~p>=m~mod~p]* {(n~mod~p)!\over(m~mod~p)!*((n-m)~mod~p)!}$ ⇔ $C_{n~mod~p}^{m~mod~p}$

$[n~mod~p>=m~mod~p]*{(n/p)!\over(m/p)!*((n-m)/p)!}⇔C_{n/p}^{m/p}$
整理得：
$C_{n}^{m}=C_{n~mod~p}^{m~mod~p}*C_{n/p}^{m/p}$

有了上面的思路扩展Lucas定理就是手到擒来的。

我想扩展Lucas并不用给出Lucas定理那样优美的式子，只要能看就行了。

首先对模数分解质因数，之后（ex）中国剩余定理合并回去就行了。

现在问题在于求 $C_{n}^{m}~mod~p^k$ , $p$ 是一个质数。

$n!~mod~p^k$
$=(\prod_{i=1}^{p^k}[i~mod~p>0]*i)^{n/{p^k}}*(\prod_{i=1}^{n~mod~p^k}[i~mod~p>0]*i)*(n/p)!*p^{n/p}$

$(n/p)!$ 可能产生新的 $p$ 的倍数，这个可以递归解决。

我们可以求出这样一个形式，即 $n!=p^{x}*y(y≠0)$ ，然后：
$C_{n}^m={n! \over m!*(n-m)!}$

这样 $p$ 的幂次用上面-下面算，然后y有逆元的，逆元的话可以用欧拉定理，如果写的是excrt，也可以直接用，这样就做完了。

洛谷模板题：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720

Code：

#include<cstdio>
#define pp printf
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(ll i = x, B = y; i <= B; i ++)
using namespace std;

ll n, m, p;
ll mo;

ll gcd(ll x, ll y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}
void eg(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if(!b) {x = a; y = 0; return;}
	eg(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
}
ll inv(ll u, ll v) {
	ll x, y; eg(u, -v, x, y);
	return (x % v + v) % v;;
}
ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

struct crt {
	ll c, m;
	crt(ll _c = 0, ll _m = 0) {m = _m, c = _c;}
};

crt excrt(crt a, crt b) {
	ll t = gcd(a.m, b.m);
	ll m3 = b.m / t, M = m3 * a.m;
	crt c;
	c.c = ((ll) inv(a.m / t, m3) * ((b.c - a.c) / t) % m3 * a.m + a.c) % M;
	c.c < 0 ? c.c += M : 0;
	c.m = M; return c;
}

ll fc1(ll n, ll p) {
	return !n ? 0 : n / p + fc1(n / p, p);
}
ll fc2(ll n, ll p) {
	if(!n) return 1;
	ll s = 1;
	fo(i, 1, mo) if(i % p) s = s * i % mo;
	s = ksm(s, n / mo);
	fo(i, 1, n % mo) if(i % p) s = s * i % mo;
	return s * fc2(n / p, p) % mo;
}
ll C(ll n, ll m, ll p, ll k) {
	mo = 1; fo(i, 1, k) mo = mo * p;
	ll x = fc1(n, p) - fc1(m, p) - fc1(n - m, p);
	if(x >= k) return 0;
	ll y = fc2(n, p) * inv(fc2(m, p) * fc2(n - m, p) % mo, mo) % mo;
	return ksm(p, x) * y % mo;
}

crt a, b;

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);
	a = crt(0, 1);
	fo(i, 2, p) if(p % i == 0) {
		ll u = i, v = 0, g = 1;
		while(p % i == 0) v ++, p /= i, g *= i;
		b = crt(C(n, m, u, v), g);
		a = excrt(a, b);
	}
	pp("%lld\n", a.c);
}