(扩展)Lucas定理——求大组合数取模

Lucas定理

若 $P$ 为质数

C_{n}^{r} \equiv C_{⌊ n / P ⌋}^{⌊ r / P ⌋} \times C_{n m o d P}^{r m o d P} (m o d P)

$C_n^r\equiv C_{\lfloor n/P\rfloor}^{\lfloor r/P\rfloor}\times C_{n\space mod\space P}^{r\space mod\space P}\space (mod \space P)$
要用生成函数证明（不会，所以不证了）

实现直接递归：

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
        x=1,y=0;
    else
    {
        long long x1,y1;
        exgcd(b,a%b,x1,y1);
        x=y1;
        y=x1-(a/b)*y1;
    }
}
long long inv(long long x,long long p)
{
    long long i,t;
    exgcd(x,p,i,t);
    i=(i%p+p)%p;
    return i;
}


long long C(long long n,long long r,long long MOD)
{
    if(n<r)
        return 0;
    if(r==0)
        return 1;
    long long ans=1LL;
    ans=C(n/MOD,r/MOD,MOD);
    n%=MOD,r%=MOD;
    long long a=1,b=1;
    for(int i=n;i>n-r;i--)
        a=(a*i)%MOD;
    for(int i=1;i<=r;i++)
        b=(b*i)%MOD;
    ans=(ans*a%MOD*inv(b,MOD))%MOD;
    return ans;
}

扩展Lucas定理

可以解决模数 $P$ 不是质数的组合数取模

将 $P$ 质因数分解： $P=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_t}$
如果我们求出一下方程中的 $a_1,a_2...a_t$ ，就可以利用中国剩余定理求出 $C_n^r$

{\begin{matrix} C_{n}^{r} \equiv a_{1} (m o d p_{1}^{k_{1}}) \\ C_{n}^{r} \equiv a_{2} (m o d p_{2}^{k_{2}}) \\ C_{n}^{r} \equiv a_{3} (m o d p_{3}^{k_{3}}) \\ . . . \\ C_{n}^{r} \equiv a_{t} (m o d p_{t}^{k_{t}}) \end{matrix}

$\left \{ \begin{array}{c} C_n^r\equiv a_1\space (mod\space p_1^{k_1})\\ C_n^r\equiv a_2\space (mod\space p_2^{k_2})\\ C_n^r\equiv a_3\space (mod\space p_3^{k_3})\\ ...\\ C_n^r\equiv a_t\space (mod\space p_t^{k_t})\\ \end{array} \right .$

现在来求 $C_n^r\equiv a\space(mod\space p^k)$

C_{n}^{r} \equiv \frac{n!}{(n - r)! r!} (m o d p^{k})

$C_n^r\equiv \frac {n!} {(n-r)!\space r!}\space (mod\space p^k)$
令

a \equiv n! (m o d p^{k})

$a\equiv n!\space(mod\space p^k)$ ，

b \equiv r! (m o d p^{k})

$b\equiv r!\space(mod\space p^k)$ ，

c \equiv (n - r)! (m o d p^{k})

$c\equiv(n-r)!\space(mod\space p^k)$

将组合数分成三个阶乘计算： $C_n^r\equiv a\space b^{-1}c^{-1}\space(mod\space p^k)$
（ $b^{-1}$ 表示逆元）
但此时如果 $b$ 与 $p^k$ 不互质，就无法求出逆元，所以需要把 $a$ , $b$ , $c$ 中的质因子 $p$ 全部提出来，求了逆元之后再乘回去。

举个例子：计算 $19! \space(mod\space 3^2)$

\begin{array}{l} 19! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times . . . \times 19 \\ = 1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \times 10 \times 11 \times 13 \times 14 \times 16 \times 17 \times 19 \\ \times 3^{6} \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6) \end{array}

$\begin{array}{l} 19!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 19\\ =1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\times 10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17\times 19\\ \times3^6 \times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6)\\ \end{array}$
即把阶乘中的

p

$p$ 质因子提出来，后面

6!

$6!$ 继续递归求解，前面第一排的式子有周期性的：

1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \equiv 10 \times 11 \times 13 \times 14 \times 16 \times 17 (m o d 3^{2})

$1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\equiv 10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17 \space (mod \space 3^2)$
所以暴力求出一个区间的值

t

$t$ ，结果乘

t^{⌊ \frac{19}{9} ⌋}

$t^{\lfloor \frac {19} 9 \rfloor}$

细节见代码：

long long pow_mod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=(res*a)%p;
        b>>=1LL;
        a=(a*a)%p;
    }
    return res;
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
long long inv(long long a,long long p)//逆元必须用扩展欧几里得，因为p不为质数
{
    long long i,t;
    exgcd(a,p,i,t);
    i=(i%p+p)%p;
    return i;
}

long long Fac(long long N,long long p,long long pk)
{
    if(N==0)
        return 1;
    long long ans=1;
    if(N>=pk)//周期性
    {
        for(long long i=1;i<pk;i++)
            if(i%p)
                ans=(ans*i)%pk;
        ans=pow_mod(ans,N/pk,pk);
    }
    for(long long i=1;i<=N%pk;i++)//除了周期性的，剩下的几个数
        if(i%p)
            ans=(ans*i)%pk;
    ans=(ans*Fac(N/p,p,pk))%pk;//递归求解
    return ans;
}
long long C(long long N,long long R,long long p,long long pk)
{
    if(R==0)
        return 1;
    long long a=Fac(N,p,pk),b=Fac(N-R,p,pk),c=Fac(R,p,pk),k=0,ans;//求出几个阶乘，不包含质因子p
    //下面单独计算质因子p的个数
    for(long long i=N;i;i/=p)
        k+=i/p;
    for(long long i=N-R;i;i/=p)
        k-=i/p;
    for(long long i=R;i;i/=p)
        k-=i/p;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*pow_mod(p,k,pk)%pk;
    return ans;
}
long long C(long long N,long long R,long long M)
{
    if(N<R)
        return 0;
    long long ans=0,m=M,temp;
    for(long long p=2,pk;p*p<=m;p++)
        if(m%p==0)//枚举模数M的因子p
        {
            pk=1;
            while(m%p==0)
                m/=p,pk*=p;
            temp=C(N,R,p,pk);//求C(N,R)mod p^k
            ans=(ans+temp*(M/pk)%M*inv(M/pk,pk)%M)%M;//中国剩余定理
        }
    if(m!=1)
    {
        temp=C(N,R,m,m);
        ans=(ans+temp*(M/m)%M*inv(M/m,m)%M)%M;
    }
    return ans;
}

(扩展)Lucas定理——求大组合数取模

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