扩展欧几里得最小整数解

我们先讨论a,b,c都大于0的情况（都为整数）

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 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  
 {  
     int d=a;  
     if(b!=0)  
     {  
         d=exgcd(b,a%b,y,x);  
         y-=(a/b)*x;  
     }  
     else  
     {  
         x=1;  
         y=0;  
     }  
     return d;  
 }  

可以用扩展欧几里德算出一个特解 x0 , y0;

满足下列方程

a*x0+b*y0=gcd(a,b);

如果c%gcd==0 那么此方程有解，否则没有解

若有解

方程两边同时乘以 c/gcd(a,b) 得 (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;

这时得出方程的一个解 x1=x0*c/gcd(a,b) y1=y0*c/gcd(a,b)

求最小整数解意思把x1变到减少到不能减少为止也就是把x0 减少到不能减少为止

若x0减小x，那么方程左边整体会减少（a*c/gcd(a,b)）*x 此时 y0 需要增加相应的数使得等式平衡

而假设 y0增加了y 总体增加了（b*c/gcd(a,b)）*y 此时（a*c/gcd(a,b)）*x==(a*c/gcd(a,b))*y

而且x,y为整数我们可以得到 x/y==b/gcd(a,b) / a/gcd(a,b)

这时 x每次减少 b/gcd(a,b) y只需增加 a/gcd(a,b) 就可以使得等式平衡。那为什么我们不约掉gcd(a,b)?

因为x越小，我们得到的最小整数解就会越小。。。。

这时我们让x0不断减 x (x=b/gcd(a,b)) 直到 x0-i*x>=0 && x0-(i+1)*x<0 (i为减x的次数) 这时得到的就是最小整数解

我们可以让 outcome=x0%x 这时就是答案了（等等我们又错过了什么？）

假如x0为负数怎么办？所得outcome=x0%x 为负数（c语言的规则）这时我们只需要x0+x就可以得到正数了

综上所述：我们可以把x0为正，为负的情况综合起来，得到的表达式如下：

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 int main()  
 {  
      d=exgcd(a,b,x,y);  
      if(c%d==0)  
      {   
           x*=c/d;   
              t=b/d;  
          x=(x%t+t)%t;  
          printf("%d\n",x);   
      }  
 }  

终于来到正题了。。。a,b,c可以为负数，怎么办？这时gcd(a,b) 都可能是负数

其实。。。。。。。

当t<0 时我们把 t=-t 然后按照上面的方法做就行了。。。。。。。。。。。（没理由。。。尴尬）

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 #include<cstdio>  
 #include<cstring>  
 using namespace std;  
 #define LL long long  
 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)  
 {  
     LL d=a;  
     if(b!=0)  
     {  
         d=exgcd(b,a%b,y,x);  
         y-=(a/b)*x;  
     }  
     else  
     {  
         x=1;  
         y=0;  
     }  
     return d;   
 }  
 int main()  
 {  
     LL a,b,c,d,x,y;  
     while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c))  
     {  
         if(a==0&&b==0)  
         {  
             if(c==0)  
             printf("0\n");  
             else  
             printf("-1\n");  
             continue;   
         }  
         if(a==0)  
         {  
             if(c%b==0)  
             printf("0\n");  
             else  
             printf("-1\n");  
             continue;             
         }  
         if(b==0)  
         {  
             if(c%a==0&&c/a>=0)  
             printf("%lld\n",c/a);  
             else  
             printf("-1\n");  
             continue;  
         }  
         d=exgcd(a,b,x,y);  
         if(c%d!=0)  
         {  
             printf("-1\n");  
         }  
         else  
         {  
             x*=c/d;  
             LL t=b/d;  
             if(t<0)  
             t=-t;  
             x=(x%t+t)%t;  
             printf("%lld\n",x);  
         }  
     }   
 }  

下面附上一道题目：

扩展欧几里德

Time Limit: 1000ms

Memory Limit: 65536KB

64-bit integer IO format: %lld Java class name: Main

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