DP常用优化
一.前缀和优化
当遇到类似：\(f[i] = \sum_{j = k}^{i} g[j]\)的转移时，可以通过预处理出\(g[i]\)的前缀和\(s[i]\)，将\(O(n)\)的求和转换为\(O(1)\)的操作。
[HAOI2008]木棍分割 二分答案+dp
P4099 [HEOI2013]SAO 树形dp
二.决策单调性——单调队列优化
接下来几种优化方法主要是对1d/1d dp的优化，其中xd/yd dp指的是状态数有\(n^x\)种，每个状态的转移有\(n^y\)种的dp。对于1d/1d dp，我们可以写出其转移的通式：\(f[i] = min/max\{f[j] + w(i, j)\}\)，其暴力转移是\(O(n^2)\)级别的，我们希望能够通过式子的某些特殊性来优化转移。
接下来我们会考察三种式子，第一种式子形如：
\[ f[i] = min_{j = i - d}^{i - 1}\{f[j] + w(j) + w(i)\} \]
我们可以看到这一类式子的特点：
1.对于i的转移，其决策点是一段连续的区间，并且这个区间随着i的右移而单调右移。
2.每次转移的代价\(w(i,j)\)中，i与j的花费相互独立。
那么，首先考察两个决策\(j\)与\(k\)(\(j<k\))，如果决策\(k\)优于\(j\)，那么对于决策\(i'\)(\(i'>i\))，从\(k\)转移一定更优，\(j\)一定不再会成为最优决策。也就是说，我们的决策是单调的，我们称这样的方程满足决策单调性。那么，我们只需要维护一个单调队列，维护队列中的决策单增/单减，对于转移\(i\)，首先检查队头元素是否还属于合法的转移区间\([i - d, i - 1]\)，如果不合法则pop_front()。由于单调队列的单调性，此时的队头就是最优决策，进行转移。接着，更新决策区间，维护单调性，将新的决策点从队尾加入单调队列。
关于单调队列优化有一个非常经典的算法——单调队列优化多重背包：
首先我们知道多重背包的方程：\(f[i][j] = max\{f[i -1][j], f[i - 1][j - k * w[i]] + c[i] *k\}\)。我们单独关注后面的部分，多重背包复杂度\(O(nmk)\)就在于最后枚举每件物品的个数，如果用二进制拆分可以将复杂度优化到\(O(nmlogk)\)。但是，如果我们想要进一步提高效率，我们就会用到单调队列优化多重背包。
首先，我们把式子改写成可以单调队列优化的形式：首先，对于重量为\(w\)，价值为\(c\)的物品，令\(j=nw+p\)，则原方程可以写成\(f[i][j] = max\{f[i -1][j], f[i - 1][p + k * w[i]] - c[i] *k+ c[i] * n\}, p \in[0,w]\)，这个式子已经被调整为单调队列优化的式子了，对于每个物品先枚举mod w后的余数，在单调队列里维护\(f[i - 1][p + k * w[i]] - c[i] *k\)递增即可。
宝物筛选 单调队列优化多重背包
三.决策单调性——斜率优化
考察的第二种式子形如：
\[ f[i] = min\{f[j] + w(i,j)\} \]
且要求这一类式子具有以下特点：
1.w(i,j)展开后能得到关于\(i、j\)的乘积项，经过调整能够化成形如\(\frac{y1-y2}{x1-x2}\)的斜率式
2.具有决策单调性
1.几何解释
那么首先来考虑一个一般性的方程\(f[i] = min\{a[i]\times b[j] + c[i] + d[j]\}（a,b,c,d >0且b单增）\)，其中\(a[i]\times b[j]\)就是我们所说的关于\(i,j\)的乘积项。对于状态\(i\)我们考察他的决策，那么我们可以先把方程化为以\(j\)的相关项为自/因变量，即：
\[ -d[j] = a[i]\times b[j] + c[i] - f[i] \]
我们将这个式子对应回直线的斜截式\(y=kx+b\)有\(y=-d[j], x = b[j], k = a[i], b = c[i] -f[i]\)，我们希望最小化\(f[i]\)，那么也就是要最大化\(b\)，由于斜率\(k\)是一定的，那么我们考虑进行线性规划，将每个决策\(j\)对应到座标系上，直线与这些决策点形成的凸包相切时可以取到\(b\)的最值，由于我们要的是\(b\)的最大值且\(k=a[i]>0\)，那么直线要和凸包上切，换言之，我们只需要维护这些决策点形成一个下凸包即可。
接下来考虑如何维护这个上凸包，凸包斜率单调减，那么我们依然可以用单调队列维护，新加入一个决策\(i\)时，先与队尾比较，判断是否满足\(slope(i, q[t]) <slope(q[t], q[t - 1])\),如果满足直接加入，否则，则如下图\(k_{DC} > k_{BC}\),说明此刻\(C\)一定不会出现在之后的最优策略里（不可能成为直线切点），那么我们pop_back()掉队尾即可。
现在单调队列里维护了决策凸包，接着我们每次转移的时候如何在凸包中选出最优决策呢？如果我们的斜率\(k=a[i]\)是单调的（以单减为例）,对于\(i'>i有a[i']<a[i]\)且i的最优决策点\(C\)，由于决策单调性\(i'\)的决策一定会是\(C\)往后的决策。或者总图形的角度说，如下图，有\(k_{AB} > k_{BC} > k_{CD} >a[i']\)，决策A、B、C一定都不是优的。综上，若\(a[i] < k(q[h], q[h - 1])\)时，决策\(q[h]\)一定不优，pop_front()到\(q[h]\)最优即可，这样暴力移动队首指针可以将复杂度优化到\(O(n)\)
如果斜率不单调，那么我们可以通过在凸包上二分将复杂度优化成\(O(nlogn)\)。在开始的式子\(f[i] = min\{a[i]\times b[j] + c[i] + d[j]\}（a,b,c,d >0且b单增）\)中有个条件：b单增。这个条件也就是决策点的x单增，使得我们能够用单调队列维护凸包。如果b不单增时，我们则必须通过CDQ分治或者平衡树来维护凸包。
2.代数解释
最后补充另一种理解斜率优化，判断决策单调性的方法，依然对于式子\(f[i] = min\{a[i]\times b[j] + c[i] + d[j]\}\) ，我们假设有决策\(j,k(j<k)\)且\(k\)优于$j，则有：
\[ a[i]\times b[j] + c[i] + d[j] > a[i]\times b[k] + c[i] + d[k] \]
\[ 即：a[i]\times (b[j] - b[k]) > d[k]-d[j] \]
\[ \frac{-d[k] - (-d[j])}{b[k]-b[j]}>a[i] \]
这样就得到了决策优劣判断的关系式了，具体含义理解应对回前面的几何意义即可。
[NOI2007]货币兑换 斜优+CDQ分治
高速公路 可持久化数组+斜优/斜优+二分
四.决策单调性——二分数据结构与分治
考察的第三种式子依然形如：
\[ f[i] = min\{f[j] + w(i,j)\} \]
一般来说这一类式子的\(w(i,j)\)已经不像前两种情况下那么独立了，譬如\(\sqrt{\mid a[i]-a[j] \mid}, (a[i] - a[j])^p\)等等。但是，如果转移依然满足决策单调性了话，我们便能够将其优化成\(O(nlogn) \)
五.two pointer优化
在某些转移中（例如枚举左右端点），方程中的两维i与j存在类似于\(s[i]+s[j]<val\)的限制条件，并且我们知道\(s[i]\)与\(s[j]\)都是单增的，那么当我们左移i指针时\(s[i]\uparrow,s[j]\downarrow\)，则j指针只能够向右移动。这样，我们可以通过调整指针移动的顺序和方向将二维的枚举优化成一维。
[AH2017/HNOI2017]大佬 dp+bfs