斜率优化dp结论

斜率优化dp
一切的前提为：k<j<i，假设从j转移到i比从k转移到i更优(即靠后的j优)，去按照题目推导不等式，如果得到g(k,j)<f(i)，因为想在决策i的时候f(i)其实为常量,我们设为C=f(i)，则将前述不等式表述一般化：
定理：对于下标k<j，如果g(k,j)<C，则靠后的j更优；否则，g(k,j)>C，靠前的k更优。
结论：如果g(i,j)<C,最后求最优解时维护下凸包。
证明：设由k<j<i向后面的x点转移，如果维护下凸包的话，且k，j，i都保留在凸包上的话,
就应该有g(k,j)<g(j,i). 利用反证法，先假设g(k,j)>g(j,i)，只需证明在这个情况下，j肯定不会在下凸包上(即j肯定不会成为最优集中的点)即可。
1) 如果g(j,i)<C ==> i比j优,故j没用(由红色定理部分推得)
2) 如果g(j,i)>C，因我们已经假设g(k,j)>g(j,i)，而g(j,i)>C,故g(k,j)>C，k更优，既然k更优,则j又没用。
 综上能说明，在g(k,j)>g(j,i)时，j不在凸包上(即不在最优集上)，故矛盾，因此有g(k,j)<g(j,i)，
所以要维护下凸包.