### 沙雕出题
##### 一个离线算法
考虑对操作分块，每 \(T\) 个操作一起处理。对于每块操作，选取操作 \(1\)、\(2\)、\(4\)、\(5\) 中的 \(u\)，操作 \(3\) 中的 \(u\)，\(par_u\)，\(v\) 作为关键点。对所有关键点建虚树，将虚树的边，以虚树为根且内部没有关键点的子树，序树每个点本身，分别看作一个整体。这样所有的操作都会定位到若干个整块，对于每块维护一个有序表即可。单次操作 \(4\)、\(5\) 的时间复杂度为 \(O(T \log^2 n)\)，重构块的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，取 \(T = \sqrt{\frac{n}{\log n}}\)，
时间复杂度为 \(O((n\log n)^{1.5})\)。
##### 一个在线算法
考虑维护LCT所对应的ETT，当在LCT进行access操作时对ETT进行相应的修改。如此一来，所有操作都会对应到一个区间，而在ETT上进行的操作只有区间加、区间移动与问区间第 \(k\) 小，直接块状链表维护可即可。设平均块长为 \(T\)，则合并相邻两块、分离某一块的时间复杂度为 \(O(T)\)，access的时间复杂度为均摊 \(O(T\log n)\)，询问区间第 \(k\) 小的复杂度为 \(O(\frac{n\log^2n}{T})\)，取 \(T = \sqrt{n\log n}\)，
时间复杂度为 \(O((n\log n)^{1.5})\)。
事实上，在实现的时候并不需要维护LCT，可以使用平衡树在ETT上直接模拟access。令左括号的点权 \(1\)，右括号的点权为 \(-1\)，access本质上是两步的迭代：
1.找到当前节点 \(x\) 的父节点 \(f\) 并将 \(x\) 移动到 \(f\) 后。
2.找到当前节点 \(x\) 所在重链的链顶 \(y\)，并将指针移动到 \(y\)。
对于第一步，\(f\) 是 \(x\) 左侧第一个满足 \(f\) 到 \(x\) （包括 \(f\) 但不包括 \(x\)）之间的点权和为 \(1\) 的节点。
对于第二步，\(y\) 是 \(x\) 左侧最后一个满足 \(y\) 与 \(x\) 之间的点权全是 \(1\) 的节点。
维护区间内点的数量、区间的点权和与区间后缀点权和的最大值，就可以找到这两个节点了。
使用 splay 估计可以分析到 \(O(n \log n)\)，可以在一定程度上代替 top tree（只要没有换根操作）。
### 人与三
对于任意数论函数 \(P(x)\) ，定义 \((\sum P)(x) = \sum_{i=1}^{x} P(i)\)。 将 \(1, 2, \dots, \lfloor \sqrt{n} \rfloor, \dots , \lfloor \frac{n}{2}\rfloor, n\) 作为 \(x\) 带 \((\sum P)(x)\) 后可以得到 \(O(\sqrt{n})\) 个点值，在后文中，我们将这张表称作 \(P(x)\) 的点值表示。
此外，后文中所有对于两个函数的乘法都定义为狄利克雷卷积。
众所周知，对于如果知道了两个函数 \(F, G\) 的点值表示，是可以算出 \((\sum(F \ast G))(n)\) 的。
然后用类似的方法，实际上是可以求出 \(\sum(F \ast G)\) 的点值表示的。
\((\sum(F \ast G)) (x) = \sum_{i=1}^{\lfloor \sqrt{x} \rfloor}((\sum F)(i) -(\sum F)(i - 1))(\sum G)(\lfloor \frac{x}{i} \rfloor) \\ + \sum_{i=1}^{\lfloor \sqrt{x} \rfloor}((\sum G)(i) -(\sum G)(i - 1))(\sum F)(\lfloor \frac{x}{i} \rfloor) \\ - (\sum F)(\lfloor \sqrt{x} \rfloor)(\sum G)(\lfloor \sqrt{x} \rfloor)\)
这样的话直接求狄利克雷卷积卷积的复杂度是 \(O(n^{\frac{3}{4}})\) 的。
如果使用 \(O(n \log n)\) 的做法去算 $\sum(F \ast G) $ 的 \(O(n ^ {\frac{2}{3}})\) 项，那么就可以在 $O(n^{\frac{2}{3}} \log n) $ 的时间复杂度内求任意两数论函数的狄利克雷卷积了。
在本题中，最终要算的函数是 \((\sum(1 \ast H) ^ m)(n)\)。直接使用上面所说的算法即可。
时间复杂度为 \(O(n^\frac{2}{3}\log n \log m)\)。
### 道良心题