7.13某中题解

1.分队问题

描述

给定n 个选手，将他们分成若干只队伍。其中第i 个选手要求自己所属的队
伍的人数大等于a[i]人。
在满足所有选手的要求的前提下，最大化队伍的总数。
注：每个选手属于且仅属于一支队伍。

输入格式

第一行一个整数 n，表示人数。 以下 n 行，每行一个整数表示 a[i]。

输出格式

输出队伍总数的最大值。数据保证有解。

数据范围

对于 20%的数据，n <= 10 对于 40%的数据，n <= 1000 对于 60%的数据，n <= 10000 对于 100%的数据，1 <= n <= 10^6

考试时想的是贪心，没想dp，没有读入优化。。。

正解：

将选手的$a[i]$从小到大排个序，然后dp：
状态：$f[i]$表示前i名选手能构成的最多队伍数。
方程：$f[i]=max{f[j]}+1$其中$j<=i-a[i]$
然后用$maxx[j]$提前计算前j个f的最大值即可。
时间复杂度：$O(n)$

2.子矩阵

题目描述

小 A 有一个 N×M 的矩阵，矩阵中 1~N*M 这(N*M)个整数均出现过一次。 现在小 A 在这个矩阵内选择一个子矩阵，其权值等于这个子矩阵中的所有数的最 小值。小 A 想知道，如果他选择的子矩阵的权值为 i(1<=i<=N×M)，那么他选择 的子矩阵可能有多少种？小 A 希望知道所有可能的 i 值对应的结果，但是这些结 果太多了，他算不了，因此他向你求助。

输入格式

第一行，两个整数 N,M。 接下来的 N 行，每行 M 个整数，表示矩阵中的元素。

输出格式

N×M 行，每行一个整数，其中第 i 行的整数表示如果小 A 选择的子矩阵权 值为 i，他选择的子矩阵的种类数。

数据范围

对于 30%的数据，1<=N,M<=50； 对于全部的数据，1<=N,M<=300。

考试时想的$O(n^4)$暴力处理拿30分。

正解：

先用$O(n^3)$处理出每个以i为矩阵上边，以j为下边，第k列的小子矩阵的最小值。
然后使用单调栈，将对于每个元素可以延伸的左右界求出即可。总共$O(n^3)$
显然对于一个子矩阵的最小值，它会影响左边，右边比它大的元素延伸矩阵，就可以用单调栈了。

3.数字对

题目描述

对于一个数字对(a,b)，我们可以通过一次操作将其变为新数字对(a+b,b)或(a, a+b)。 给定一正整数 n，问最少需要多少次操作可将数字对(1,1)变为一个数字对， 该数字对至少有一个数字为 n。

输入格式

第一行一个正整数 n

输出格式

一个整数表示答案。

数据范围

对于 30%的数据， 1<=n<=1000 对于 60%的数据， 1<=n<=20000 对于 100%的数据，1<=n<=10^6

考试时打表后迭代加深然后卡时才苟且通过。。。。太弱了。

正解：

显然从$（1，1）$递推到n肯定不可行，就考虑从n反推回去。
对于$（x,y）$,显然$x!=y，x,y>=0$,所以只有可能通过$（x-y,y）$或者$（x，y-x）$其中一种情况推回$（x,y）$，而想到gcd过程就是辗转相除，即辗转相减，因此用gcd()模拟加速相减，就可算出（x,y）得到需要的次数。计算n与1至n-1的gcd（）即可。时间复杂度:$O(n*log_2^n)$

反思与总结：

需要改进的：
T1：1.思考贪心算法时一定要证明自己的算法是正确的，或者努力推翻自己的算法，dp能用时就用dp；
2.数据大时要使用读入优化。
T2：1.要注意分析最小值的性质：即遇着最大值就不能再延伸，即用单调栈可以实现。
T3:1.要想涉及到数字的大部分都是数论，不要因为暴力苟且得分就不想数论了。

需要保持的：
T3：打表找规律，然后迭代加深，卡时倒推。考试暴力ac也是奇迹呀（既然想到倒退为啥还没想到gcd?还是对算法不够熟悉呀）