Hough(霍夫)变换识别各种图形（直线、圆、椭圆、任意闭合图形）

前提： 在霍夫变换之前，我们要对图像进行边缘检测，提取出图像的边缘，然后检测图像的边缘是否为目标图形（直线、圆、椭圆、任意闭合图形）。

霍夫曼变换，用于识别形如 $f(\bold{x},\bold{\alpha})=0 \tag{*}$形式的图形边缘，其中 $\bold{x}=\{x,y,\dots\}$为自变量向量， $\bold{\alpha}=\{a,b,\dots\}$为参数向量，对就像(1.1)那样。

1.霍夫变换识别直线

1.1引言

在 $x-y$平面中，直线方程: $y=ax+b \tag{1.1}$
确定了参数 $a$、 $b$便确定了直线(1.1)。

考虑： 构建一个参数平面—— $a-b$平面，那么 $a-b$平面上的一个点 $(a,b)$便对应 $x-y$平面上的一个直线 $y=ax+b$。那么能否在 $a-b$平面上找到一个显著的点 $(a,b)$来确定直线 $y=ax+b$呢？

取 $a-b$平面，将 $a$、 $b$视为自变量， $x$、 $y$视为变量，则(1.1)变换为 $a = \frac{b}{x}-\frac{y}{x} \tag{1.2}$

思路： 设 $(x_0,y_0)$、 $(x_1,y_1)$是平面 $x-y$内直线 $y=ax+b$上的两个点，则 $(x_0,y_0)$、 $(x_1,y_1)$均满足(1,1)，即
$\begin{cases} y_0=ax_0+b\\ y_1=ax_1+b \tag{1.3} \end{cases}$
将(1.3)变形，得到
$\begin{cases} a = \frac{b}{x_0}-\frac{y_0}{x_0} \tag{1.4} \\ a = \frac{b}{x_1}-\frac{y_1}{x_1} \end{cases}$
(1.4)的上、下两式分别对应平面 $a-b$上的两条直线，且两条直线交汇于点(a,b)。

这样，平面 $a-b$上的点 $(a,b)$便对应平面 $x-y$上的直线(1.1)。

由于(1.3)的表示形式可能出现 $x=0$的情况，无法计算，于是我们采用极坐标平面来进行变换。

1.2极坐标下的霍夫曼直线识别

对于参数平面，不再采用 $x-y$平面，而采取极坐标平面，极坐标平面 $r - \theta$下的直线方程为
$r = xcos\theta+ysin\theta \tag{1.5}$
其中， $x$、 $y$为参数， $r$、 $\theta$为自变量。与1.1节中的讨论一致，确定了点 $(r,\theta)$，则确定了直线(1.1)。

设点 $(x_0,y_0)$和 $(x_1,y_1)$为直线(1.1)上的点，则该两点同时满足直线(1.1)对应的极坐标方程
$\begin{cases} r = x_0cos\theta+y_0sin\theta \\ r = x_1cos\theta+y_1bsin\theta \tag{1.6} \end{cases}$
观察(1.6)，可以解出 $r$和 $\theta$。但故事就这么简单就结束，好像有点“索然无味”

我们观察 $r = x_0cos\theta+y_0sin\theta$有
$r = x_0cos\theta+y_0sin\theta=\sqrt{x_0^2+y_0^2}sin(\theta+\beta_0)=\sqrt{x_0^2+y_0^2}cos(\theta-\beta_0) \tag{1.7}$
其中， $tan\beta_0=x_0/y_0$。(1.7)说明，原 $x-y$平面上的一个点 $(x_0,y_0)$,对应 $r-\theta$平面上的一个正弦(余弦)曲线。而对于点 $(x_1,y_1)$则有
$r = x_1cos\theta+y_1sin\theta=\sqrt{x_1^2+y_1^2}sin(\theta+\beta_1)=\sqrt{x_1^2+y_1^2}cos(\theta-\beta_1) \tag{1.8}$。其中， $tan\beta_1=x_1/y_1$。

(1.6)、(1.7)和(1.8)可归结为
$\begin{cases} r = \sqrt{x_0^2+y_0^2}sin(\theta+\beta_0) \\ r = \sqrt{x_1^2+y_1^2}sin(\theta+\beta_1) \tag{1.9} \end{cases}$
其中， $tan\beta_0=x_0/y_0$， $tan\beta_1=x_1/y_1$。
(1.9)表示，平面 $x-y$上的点 $(x_0,y_0)$和 $(x_1,y_1)$分别对应平面 $r-\theta$上的一条正弦(余弦)曲线。而这两条正弦(余弦)曲线的交点 $(r,\theta)$便是极坐标下直线方程(1.5)的参数。

小结： Hough变换的核心思想就是， $x-y$平面上一条直线上的两个点 $(x_0,y_0)$、 $(x_1,y_1)$，分别对应参数平面上的两条直线。参数平面上两条线(若为 $r-\theta$平面，则为正、余弦线)的交点，即为 $x-y$平面上直线 $y=ax-b$的参数 $a$和 $b$(若是极坐标平面，即为 $r$和 $\theta$)。

1.3识别圆形

圆形坐标 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \tag{1.10}$
根据1.2、1.3节中的思路，取参数空间 $a-b-r$，当确定一个点 $(x_0,y_0)$时，对应超平面 $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2 \tag{1.11}$ 即，以点 $(a=x_0,b=y_0)$为圆心，半径为 $r$的一个圆锥。So，给定待识别圆形上的三个点 $(x_0,y_0)$、 $(x_1,y_1)$和 $(x_2,y_2)$，那么对应下图右图的三个圆锥。这三个圆锥的共同交叉点 $(a',b',c')$便是(1.10)的参数。

图片借用自https://blog.csdn.net/jiangsgyx/article/details/83755739

依照上面的原理，我们在实际计算的时候需要一个“三维累加器”（后面讲），显然带来计算上维度的增加。于是有人提出了，在(1.10)对 $x$求导，得到

$2(x-a)+2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0 \tag{1.12}$
这样就将(1.10)中的三个待定参数降为两个。但是，微分运算会损失信息，导致算法的精度下降。

Note： 但这种改进的Hough变换检测圆的方法其检测精度并不高，原因在于，此种方法利用了边界斜率。从本质上讲，边界斜率其实是用曲线在某一点的弦的斜率来代替的，这种情况下，要保证不存在误差，只有在弦长为零的情况。但在数字图像中，曲线的表现形式是离散的，其在某一点处的斜率指的是此点右向n步斜率或是左向n步斜率。如果弦长过小了，斜率的量化误差就会增大。这种方法比较适用于干扰较少的完整圆形目标。https://blog.csdn.net/jiangsgyx/article/details/83755739

1.4任意图形的识别

记形状物边界上的点为 $(x,y)$，形状物内任意确定一个点 $(x_c,y_c)$为参考点。从边界上的点 $(x,y)$到参考点 $(x_c,y_c)$的距离为 $r$。 $r$是 $\psi$的函数， $\psi$为边界点 $(x,y)$的梯度方向。(这里有点类似傅里叶描述子，参见我没写完的blog。没写完，当然是看不见了。) $\alpha$是 $(x_c,y_c)$到边界 $(x,y)$连线的角度。如此， $(x_c,y_c)$与 $(x,y)$的几何关系便简单了，它们应满足
$\begin{cases} x_c = x + rcos\alpha \\ y_c = y + rsin\alpha \tag{1.13} \end{cases}$

由于 $r$和 $\alpha$都是与 $(x,y)$相关，而 $(x,y)$直接对应该点的梯度方向 $\psi$，故 $r$和 $\alpha$为 $\psi$的函数，即 $r(\psi)$和 $\alpha(\psi)$，于是(1.13)为

$\begin{cases} x_c = x + r(\psi)cos\alpha(\psi) \\ y_c = y + r(\psi)sin\alpha(\psi) \tag{1.14} \end{cases}$

考虑形状上任意点 $(x_i,y_i)$都对应自己的梯度方向 $\psi_i$，而 $\psi_i$显然有 $\psi_i \in [0,2\pi)$。

我们现在已知标准形状R，已知内部选定的参考点 $(x_c,y_c)$。根据 $\{\psi_i\}$的划分，填写表-1.

于是，对

		表-1
$\psi_1$	$(r_1,\alpha_1)$	$(r_1^2,\alpha_1^2)$	$\dots$	$(r_1^m,\alpha_1^m)$
$\psi_2$	$(r_2,\alpha_2)$	$(r_2^2,\alpha_2^2)$	$\dots$	$(r_2^m,\alpha_2^m)$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$\psi_n$	$(r_n,\alpha_n)$	$(r_n^2,\alpha_n^2)$	$\dots$	$(r_n^m,\alpha_n^m)$

为了方面理解，我认为，表-1可以简化为表-2

	表-2
$\psi_1$	$(r_1,\alpha_1)$
$\psi_2$	$(r_2,\alpha_2)$
$\dots$	$\dots$
$\psi_n$	$(r_n,\alpha_n)$

填写好表-2后，在待检测的边缘上依次取点 $\{(x_i,y_j)\}$，由点 $\{(x_i,y_j)\}$得到 $\psi'_i$，按照临近原则，取到 $\psi_i$对应的 $(r_i,\alpha_i)$，并根据(1.14)计算 $(x_c',y_c')$。
在区域 $A(x,y)$中，执行
$A(x_c',y_c') = A(x_c',y_c')+1 \tag{1.15}$
即累加投票。如果 $(x_c',y_c')$的值相对足够显著，且与 $(x_c,y_c)$近似，则认为图形匹配。

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