著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误

著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误

——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题

黄小宁(通讯：广州市华南师大南区9-303  510631）

(此文的压缩版已公开发表在《科技视界》2014（10）)

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http://www.docin.com/p-825164990.html

[摘要]论证有最大正数，各无穷序列都有末项，不存在对等于其真子集的无穷集，朱梧槚、肖奚安等4位数学家所言：“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集”不虚——意味一系列以非集为“无穷集”的“定理”和集论必是错上加错的更重大错误。证明元为正数且至少有两元的集必有最小元使困扰科学界2500年的芝诺著名“运动不存在”世界难题迎刃而解，从而揭示二千多年“点无大小”公理是几何学最重大根本错误——几百年解析几何一直存在极重大错误的根本原因。指出可证明各光滑曲线都是由充分短直线段连接成的，从而消除“△f≈df反例”悖论。逻辑学常识表明有标准数>R一切元。指出已知实数全体仅为实数全体的沧海一粟。试提出全新数学的冰山一角。

[关键词]最小、大正数；最大和无穷大自然数；点有大小，线有宽度；坐标轴(平面)的伸展及压缩变换；元点之间均不相连的有空隙数直线；芝诺悖论；有序集从大到小一个不漏的每一元

人类自识正有理数几千年来一直认定没最小、大正数。推翻此“常识、定理”的“反科学”的神话般发现来自于太浅显的一系列逻辑学和数学常识，例说“任何一个正数x都有对应y（x）<x”就是说y可<任何（所有）正数x。故凡懂集合的相、对等概念者都有能力评判本文的正确与否性而非只有极少数编书专家才能评判。问题是需保持有“皇帝新装”中不会说假话的小孩那种童真才能看见明摆的真相，“新装”中失去童真的大人不要说智慧火花，即使是智慧的燎原烈火，他也是视而不见的。

苏步青：…实际上做了这样一个基本假定：圆周上无限接近的两点间的弧长等于对应弦的长度。对于更复杂的曲线的弧长也是据此基本假定给以定义并由此给出计算的^[1]。然而几何直观和“假定” （有待证明的猜想）是不能作为推导公式定理的理论依据的。几何学断定不论弧怎样短都不可与对应弦重合成为弦使弧总比弦长。弧与不可弯曲的直线段不能重合。本文指出可证明书上常见的光滑曲线A实际上是由无穷多充分短直线段连接成的，关键是发现 A的元点都有与之相邻的元点。袁萌教授在网上大力推荐K.D.Stroyan的专著《无穷小微积分的数学基础》的封面上曲线与其切线不是相切于一个点而是相切于一直线段（blog.csdn.net/yuanmeng001/article/details/12768491）。

1.朱梧槚、肖奚安等4位数学家的觉醒：书中“无穷集”都是虚假集

敢说真话不愿人云亦云随大流的朱梧槚是基础数学与逻辑学方面的世界著名专家，其名字和事迹被列入《国际知识界名人录》《国际上卓越的学术领导人辞典》。朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生4位教授、博导敢于实事求是地断定：“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集^[2]”。也许其论据还有待继续完善，但本文表明其论断并非“怪论”，而是先知先觉地“在‘最不成问题’的问题中发现重大问题”。张喜安高级工程师也敏锐洞察到集论是自相矛盾的理论^[3]。朱教授敢于坚持真理地出版大著[4]后又力排众议“极端孤独”地出版“更爱真理”的大著[5]，公而忘私地毅然揭开集论的“无穷集”真相更令人钦佩。丁肇中深有体会：“99％的人反对你，不代表他们是对的。专家的评论是依靠现有的认识，而科学的发现是推翻现有的认识。”。

2.让5千年都无人能识的最大自然数一下子暴露出来揭示中学数学有重大错误

h定理1：任何非空数集A={x}=B={y}的必要条件之一是|x|=|y|即y=±x，正如若A各元>0则B=A的必要条件之一是B各元>0一样；之二是A～B。这表明y=±x外的一切y=y（x）的定义域必≠值域。若A、B的元分别是复数z₁、z₂则B=A的必要条件之一是|z₁|=|z₂|。

证：{1，2}各元x到0的距离是x>0，{1，2，3}各元x到0的距离是x>0。如[6]所述，A（或B）各元x（或y）到任一固定数例如0的距离是变量|x|（|y|），显然若A与B是同一集则|x|与|y|必是同一变量且A=B～B。A（或B）各元z₁（或z₂）到z=0的距离是|z₁|（或|z₂|），若A=B则|z₁|=|z₂|。证毕。同样可证有

h定理2：数偶集A={（x，y）}=B={（X，Y）}的必要条件之一是：A各点（x，y）到（0，0）的距离=B各点（X，Y）到（0，0）的距离；...。其余类推。

本文所指坐标系是直角坐标系。后文表明两点集是否相等不但与点本身有关且与表示点的位置的数组有关。设各函数的定义域、值域分别都可由D和Z代表，DЭx（读作“D各元x”）表示D各元都由x代表，x的变域是D，x、y∈B表示x、y所取数x、y都∈B。应有

h常识：“有下界的有序无穷集A从大到小一个不漏的每一元x都有对应变数y<x”表示至少有一数y<A每一（一切）元x。（否定此常识者反映其还未真懂变数概念而只会背书）例“不论哪一正数x都有对应y=x-1<x”就是说有数y<一切正数x；同样Ｒ⁺Эx>y=x/2>0表至少有一正数y<Ｒ⁺所有元x。注！只会背书应付考试者不知“各元”是“无一遗漏的各个元素”的缩写；“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。

定义1：A与B的元x与y:若可一一对应近似相等或相等即x↔y≈（或=）x就称A≈B，若可一一对应相等即x↔y=x就称A=B。显然在未证有x↔y=x之前是不能断定A=B的。

⊥地平面的R轴一个不漏的各正数点x∈R⁺全都离开原位地沿轴正向升高变成点y=kx（k>1）=x+△x>x>0（点还是原来的点而只是改变高度）生成射线Z，R轴显然就至少空出一没有点的正数位置x=x₀落在一切升高了的点y的下面即x₀<Z一切元y使 Z≠R⁺。y=kx>x>0的定义域和值域分别是R⁺和Z，据h定理1R⁺≠Z，据h常识ZЭy=kx>x∈R⁺表R⁺至少有一元x<Z一切元y。

满足x、y∈R的点z=x+yi的全体组成复平面z=x+yi，相应有复直线z=x+yi（y=0）=x等。两重合相等的点（集）称为二重点（集）。两R轴可成二重轴（R∪R=R={（x，x）}）。平面z的x轴即直线z=x的射线z=x≥0是各矢量z=x≥0的终点的集合，这各矢量（有箭头的直线段）z都伸缩为矢量z′=kz=kx（正常数k≠1）使各矢量z的终点z全都离开原位（点z=0除外）地沿线保序不保距地前（或后）移到新位置z′生成新射线z′=kx与射线z=x≥0不可重合相等。理由：①不同的函数其图象也必不同，例y=x²的图象与y=x的图象不同，故若两图形是同一点集则它们的相应函数必是同一函数。所以由复函数常识当正数k≠1时射线z′=kx≥0与射线z=x≥0不相等。②有h几何常识：因相等的图形必全等故不全等的射线z与射线z′必不相等。故有

h定理3：点集A=B的必要条件是A≌B（点集甲保距变为点集乙就称甲≌乙，不论集有多少个元点。）。

h定理4：有下界的有序无穷集WЭx变大为y=x+△x>x组成Z不可包含W，因W至少有一元x<Z一切元y。

证：由h常识ZЭy>x∈W表W有元x<Z一切y。证毕。

据h定理4、1，中学几百年“定义域是（0，1）的y=2x（>x>0）的值域=（0，2）”及“定义域为(0,1)⊂R⁺的y=2x>x>0的值域=（0，2)⊂R⁺”等等，是一系列搞错变量的变域的重大错误——使人们误以为病态b论“部分可=全部”是“革命发现”。“没最小元”的A=（1，2）Эx>0变大为y=3x组成Z（中学断定Z=（3，6））不可包含A，同理U=（0，1）Эx>0全都“上升”变大为y=3x组成W不可包含U一切元x；否则何来“全都变大”？故中学“W=（0，3）”是违反逻辑学常识的。

定义2：若数集A各元可两两配对成一数偶集（配对前后的集是同一数集）就称A是偶型数集，否则称为奇型数集。相应有奇、偶型级数、数列。奇型集中可配对的元都配对后必剩下一“单身”元。{1，2，3，4}与{（1，2）（3，4）}是一同数集。

h定理5：N={1，2，...，n，...}有最大元n。

证：①N各元n的后继y=n+1的全体组成B′～N。N中1后面的一切元n≥2组成B⊂N，BЭn=q+1(q=1,2，...)都是其左邻q∈N的后继q+1∈B′说明B′包含B。BЭn≥2的绝对值是ρ₁（n）=n≥2，B′Эy=n+1（n≥1）的绝对值是ρ₂（n）=n+1（n≥1）≥2；显然ρ₁与ρ₂不是同一函数（前者的n≥2不可取1），据h定理1B′≠B。包含B的B′≠B⊂N说明B′中必至少有一B外正整数元y₀=n₀+1>n₀∈N，显然n₀是N的最大元n——其后继n+1是B外即N外数。偶型N={（1，2）（3，4）…}（此数偶集同时也是数集N，其数元在两两配对（即加括号）后还是原数集。）中1后面的一切数n≥2组成B={2）（3，4）（5，6）…}⊂N中的2没B中数与之配对，除非拆散某对数而又生一“单身”数——表明B是奇型集（不可既是数集同时也是数偶集）而≠偶型B′～N。不知集有奇、偶型之分就会将两异集误为同一集——导致全盘皆错的最重大根本错误。

②据后文的h定理10～N的B′的元多于B⊂N的元——说明B′必有B外元n₀+1>n₀∈N，显然...。若N由一切非0自然数组成则n+1等是超自然数。后文还要续证有n。

显然凡满足h条件：“其各项可两两配对且每对项的数的代数和都是0”的级数必=0，不论其是否发散。故x=1-1+1-1+…=0 表示x满足h条件。偶型数列：（-1,1）（-1,1）…的所有数的和h=(项1+项2)+(项3+项4)+…=∑（-1+1）（无穷多个（-1+1）的和)）=0（注：h各项都≠0）是因式中各不同位置上的1与-1一样多而可一一配对，故h去括号后还是原级数。去掉h的首项-1得奇型h-（-1）=1（是h的第2项）+∑（-1+1）=1而≠0是因h+1不满足h条件。

设级数都可由字母代表。若y=∑1与-y=∑-1分别都有“可数无穷多个”（以下简称“可数个”）项，则±y的所有项的数的和：y+（-y）=∑（1-1）=0。框框内的无穷数列{-1}、{1}分别都有可数个项，各-1与各1一一配对成一无穷有序数偶列{（-1，1）}在框内，框内所有±1的和s=（-1+1）+（-1+1）+… =0（注：s各项都≠0），去掉s的首项-1得奇型

s-(-1)=（1）+∑（-1+1）=1

中两等号之间的和式中的1个1成单身；这和式保留s的全部1但只留有s的部分-1；集论断定这部分-1还是有可数个而可与s的全部1一一配对，从而使奇型s+1也满足h条件而=0,即断定s+1=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0的两等号之间中各不同位置上的1与-1可重新一一配对(例各-1都改与其左邻的1配对)而有s+1=(1-1)+(1-1)+…=0。那么s就非一确定数0，s+1也非一确定数1。所以极限论之前2百年的级数常识：s=0与s+1=1, 断定s+1不满足h条件，间接断定s+1中的1与-1是不可重新一一配对的,即间接断定：框内任一数列单独去掉首项后余下的数不可与另一列全部数重新一一配对——级数常识推翻集论。

3.科学应补上的变量与代数启蒙知识——扫数盲使人猛醒：“x轴各点与各实数一一对应”定理和“R完备”论是百年重大错误

区间（0，1）ÌR表示R中0与1之间所有数组成的集,其余类推。“一个变数就是一个数学符号，通常用x，...来表示，它被用来代表某一数系中的某一子集D中的任一元素。该数集D叫做这个变数的变域^[7]。”可见“变量x”中的x既是变量同时也代表其变域D内任何定量，不能只知其一不知其二，x所取各数也均由x代表，DЭx都有一个共同的“名字”叫x。固定数是变数中的一种：变域内只有一个数的变数。不等式起码常识：说“D=Ｒ⁺Эx>0都有对应y=x-1<x”就是说y可<R⁺一切元x，因式中x可一个不漏地遍取Ｒ⁺一切数x使代表数的y必可一个不漏地遍比Ｒ⁺一切x都小而代表（取）Ｒ⁺外数；同样，中学“R⁺Эx>0都有对应标准正数x/2<x即Ｒ⁺Эx>y=x/2”（据h常识）表示（y的变域中）有标准正数y<Ｒ⁺所有元x。关键是连文盲也知“一个不漏”“一切”的确切含义。应有代数常识：变数y<x表示x（或y）的变域X（或Y）Эx（或y）都有对应数y（或x）<（>）x（或y），故此式所代表的内容之一：①有数y<X一切元x，或：y可变至<X的任何数x而取（代表）X外数；②有数x>y的变域Y内一切元y。学习数学最关键是须明白表达式中各字母、符号所代表的全部含义，否则就如文盲不识字那样不识表达式所表达的内容而成数盲。鹦鹉是数学盲，尽管其也许能“解题”,正如文盲不懂（甚至搞错）射击原理却照样能成神枪手一样。据h常识“由一切标准正数组成的Ｒ⁺Эx>y=x/2>0”表有非标准正数y<Ｒ⁺所有元x。

中学断定U=（0，1）Эx>x/2=y>0，据h常识这表示y>0可<U一切x而取非正数——矛盾;鲜明对比的是将y=x/2换为y=x-1就没矛盾。同理，书上“R⁺Эx>y=x/2∈R⁺”“含全部正数的Z⁺Эx>y=x/2>0”都是病句：R⁺（Z⁺）有正数元y<R⁺（Z⁺）每一（一切）正数x；…。故中学和集论中此类“R⁺、U、Z⁺”等等都是自相矛盾的子虚乌有的假无穷集。建基于重大病句和假无穷集之上的“理论”必是错上加错的更重大错误。

4.直线出现空洞的原因揭示x轴有上、下界点——对射线(无穷集)的认识一直存在极重大根本错误

相对论中的运动坐标系的坐标轴是可沿轴保距平移的。中学生就须知道定义域为R⁺的y=x+1的值域=？即由x>0（变域是R⁺）得x+1=y>1中y>1的变域（射线x>0沿线正向平移距离1得射线y=x+1>1）=？注：说R轴各元点x可变换为点y=x+△x=x+1>x就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴。其余类推。R一切非负元x≥0组成A（中学记A=[0，∞）），A一切≥1的元x≥1组成Z⊂A（中学记Z=[1，∞）），R⊃AЭx≥0保距变大为y=x+1≥1组成Z′（中学断定Z′=Z）；Z′Эy=x+1的绝对值是y=x+1>x≥0，而ZЭx≥1的绝对值是x≥1，据h定理1 Z′≠Z。Z⊂A的元x≥1都可表为x=1+x′>x′（≥0）∈A（其中x′=x-1≥0的变域是射线x≥1沿线负向平移距离1而得的射线x′=x-1≥0）说明ZЭx都∈元是y=x+1的Z′，包含Z的Z′≠Z⊂A说明Z′中必有Z（现有数学记Z=[1，∞））外的元y₀=x₀+1>1，显然y₀>Z一切元。复射线z=x≥0平移成的射线z+1=x+1≥1与射线z=x≥1显然不相等，中学数学一直将这两异线误为同一线。

如有地名那样，“位置x”中的x就是该位的“名字”。空间位置本身是不动的，而图形的点x可移位，挖去x轴一个点x就空出一位置“洞”x说明x轴由点x与容纳点的位置洞x两部分组成。⊥地平面的R轴各元点x都在位置洞x内即点与位置已一一配对：点x↔位置x。现各非负数点x≥0沿轴正向保距上移距离1变为点y=x+1≥1生成射线Z′(元是点y≥1)使R轴原线段[0,1)内各位置x都变成空洞单身。出现空洞的唯一原因是与空洞一样多的原轴内点都被挖去或移出轴外（射线的平移是刚体运动，各动点没缩小也没与别的点有重叠部分等。）——此逻辑学常识表明上移点y≥1中必有部分点y移出了R轴而处在R轴一切位置洞的上面使Z′不是R轴的一部分，即射线y=x+1≥1“刺破了天”：有部分元点y突出在R轴一切元点的上面而推翻“R完备”论、r定理：“x轴各点与各实数一一对应”。这形象直观地表明：R轴是无穷长直线段；如一直线段任意平移后还是原线段而只是改变了位置那样，任一射线θ沿线正向平移一段距离得射线β还是原射线而只是改变了空间位置，β并非θ的一部分。

所以“上述射线可上移使R轴出现空洞却又没原轴内点能移出对加法封闭的轴外”中的“R轴”是不合逻辑的“自相矛盾的非集”。“大道至简至易”：若数轴的刚性元点没被挖去也没移出轴外，点之间也没重叠部分，就绝不会出现空洞。上述启蒙知识和语文常识表明“R⁺内从小到大一个不漏的各元x都有对应标准数y=x+1>x”表示至少有一标准数y>R⁺一切元x，y=x+1>x>0表示y必可>x的变域R⁺一切元x而取R⁺外正数。

5.几何常识显示几百年解析几何一直有极重大根本错误——数轴伸缩后就非原轴了

相似变换将图像放大（缩小)。设长为1的一截橡皮筋s是橡皮点的集合，各橡皮点（正方体）都有中心，规定两橡皮点之间的距离是它们的两中心的连线的长。将s拉长后（或放大镜下）各橡皮点都变长了使点与点间的距离也变大了，这是一种有序集的元的保序增距变换。将s拉长为长是2的s′～s,但s不是s′的一部分, 因s′的元点的长>s的元点的长。x轴各点x保序不保距地变为点X=2x，x轴就均匀伸长变换为元是点X的X=2x轴使线段[0,1]Ìx轴伸长变为元是点X的没空隙线段[0，2]ÌX=2x轴。后文证明点X的长度2倍于点x的长——数轴也有因点变长（短）的伸缩变换——这是“化学变化”：改变了组成线的“分子”。将“分子”点不同的线混为一谈就如将棉线误为铜线那样是根本错误。

x轴A伸缩变换为X=kx轴B[正常数k>（<）1时是弹性伸长（压缩）变换]。据h几何常识由A不≌B（伸缩变换是非保距变换）知A≠B。

h定理6 ：x轴变换为X=X（x）轴叠压在x轴上，x轴=X轴的充要条件是X=x。（证：x轴各点x到原点x=0的距离是|x|，X轴各点X到原点X=0的距离是|X|，若两轴是同一轴则这两距离必是同一函数即|X|=|x|,亦即X=±x,式中:X=x是恒等变换，X=-x是...,而X=-x轴是与x轴方向相反的轴。故定理得证。）

X=kx（k>0）轴是可伸缩变换的轴，其可沿轴平移距离|c|变为X′=kx+c轴，...。据h定理6X=kx（k≠1）轴≠x轴。所以直线y（x）=0与直线y（2x）=0不是同一直线（两y的x的变域均是R），前者是x轴即R轴，后者是X=2x轴；同理直线y（x）=3与直线y（2x）=3不是同一直线；...。故中学解析几何一直将X=x轴与用而不知的X=2x轴、X=（x/2）轴、X=kx+c（c≠0）轴、X=x³轴、X=x³+c轴、…等无穷多各异轴误为同一轴：X=x轴，继而将无穷多各根本不同的相应平面等误为同一平面R²等。

RЭx×k（k>0）变为y=kx得元是y的集可记为kR，RЭx变为y=x+非0固定数c生成的集可记为R+c。据h定理1，①R≠R+c，R≠2R且≠（1/2）R且≠…，故R×R≠2R×2R且≠2R×R且≠2R×3R且≠…。故定义域是R的y（x）=kx（k是非1正数）的值域是kR而非R。②中学“定义域均是R⁺的y=kx>0、y=x²>0、y=x³>0、y=>0、...的值域均是R⁺”等等，是一系列搞错变量的变域而将两异集误为同一集;定义域为R的直线y(x)=kx+c是R×(kR+c)的子集,y的值域是kR+c。

据h定理1线段L=[0，3]ÌR轴被砍去一部分（1，3]ÌR轴而变短成为[0，1]ÌL与L收缩变同样短（L各点x变为点X=x/3生成元是点X的没空隙的[0，1] Ì（1/3）R轴有根本区别。

按“橡皮几何学”观点R²面可看成由弹性膜做成,可随意伸缩。R²均匀弹性伸张或收缩后各元点之间的距离就变大或小了，此类非保距变换前后的点集不全等，当然就更不相等（据h定理2也得此结论）。R²面有单位圆⊙₁：ｘ²+ｙ²=1。R²各元点（x，y）变为点（X=2x，Y=2y），R²就整体弹性伸张变为元是点（X，Y）的（2R）²即XY面，使x轴、y=x轴ÌR²分别被伸长变为X=2x轴和Y=2y轴Ì（2R）²，同时使⊙₁被拉伸而膨胀变大为⊙₂：（将X=2x与Y=2y代入⊙₁的方程得）（X/2）²+（Y/2）²=1即X²+Y²=4。后文指出解析几何一直误以为⊙₁与⊙₂是同一R²面的圆ÌR²。z平面伸缩为kz（正常数k≠1）平面显然≠z平面。

6.由数学定理竟推出数学动点根本不能动——书上数轴是自相矛盾的假集

学习研究数学的目的之一是定量描述运动物体的位置的改变。现实中由大到小取值的变量比比皆是（例自由落体的高度）决定了数学中由大到小取值的变量比比皆是,例沿x轴负向运动的点。点x→c到点c的距离ρ≥0是由大到小取值的有序变化的有序变量，稍有一点头脑的人都知道ρ必取尽变域D所有正数后才能取0=x-c即ρ必取到无正数可取了才取0。但有定理断定ρ→0每取一正数ρ后总还有后续正数如ρ/2∈D要取而总不能取到无正数可取从而更谈不上能取0——尖锐自相矛盾！可见困扰科学界2500年的著名“运动不存在”芝诺悖论实质上是深刻揭示不能真正用数来表达运动的数学危机。在科学界不但不察存在2500年的数学危机反而还将有过人科学洞察力的芝诺斥之为诡辩家的“科学共识”反映一种劣胜优汰现象，这使人不能不感叹2500年前的芝诺的科学洞察力远在不少当代人之上。数学、物理学家兰佐斯是明白人，他清醒指出：不能否认，我们碰到了一难解之谜（这是世界难题——黄小宁按）。我们知道连续性这个概念，可我们却不能够把它描述出来。我们观看一运动物体从位A移到位B，但却不了解这是怎样发生的。…。聪明的芝诺曾用他那…著名悖论非常形象地描述了连续性的这种矛盾的本质。(兰佐斯《无穷无尽的数》157页，中译本）因x数轴是连续的故沿轴从原点o→x=1处的动点x不经过与o只相隔1个、2个、…有穷多个点∈x轴的阶段就绝不能进入与o相隔无穷多个点∈x轴的阶段，正如一人不经过儿童期就绝不可进入少年期一样；但有定理断定此点x所能到达的各正数位置x都与o相隔无穷多个正数点∈x轴——显然抹杀了x有序渐变的连续变化性,故此定理使书上x轴“是自相矛盾的非集”。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符。点的有序连续变化规律：沿一维空间K运动的点从一位置y有序连续运动到另一位置y+△y若不首先与y只相隔有穷多个位置点∈K就绝不可与y相隔无穷多个位置点∈K;同样...。

由大到小取值且变域为[1, 2]⊂R的x有最后一次的取值即其取数过程是有完有了的。真正的无穷集必是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一体。

7.h常识和上述启蒙知识让几千年初等数学一直未能识的最小正数一下子暴露出来——百年极限论一直存在重大错误

设数学内的所有实（正）数组成S（S⁺）。中学几千年“常识a”：“任何正数y=k（y/k）,k>1”使自有函数概念几百年来数学实际上一直认定S⁺Эy都有对应正数y/k=x∈S⁺即S⁺Эy>y/k=x∈S⁺。据h常识这就是说S⁺有正数x<S⁺一切正数y——病句。故真正常识推翻“常识a”。有序集的元与元之间是可有上下（前后、左右）顺序关系的（例负数是0下数，...），可将比x小（大）的数形象化地称为位于x下（上）面的数，不同的数必处在不同位置。“任何一个（全称量词）正数y的下面都有数”=“所有正数y的下面都有数”显然表示有数在所有（任何）正数下面，只有一字之差的“任何一个正数y的下面都有正数”是病句：有正数位于所有正数下面。据上述启蒙知识说y>x=y/2>0中的y可取一切（任何）正数就是说x>0可<一切正数而取非正数。这一非弱智人都能明白的不等式常识说明并非每一正数y的下面都有对应正数 y/2——意味必有未知正数y的下面没对应正数 y/2等。说⊥地平面的“y轴中由大到小一个不漏的各个正数元点y的下面都有正数点=y/2∈y轴”就是说y轴有正数元点在y轴一切正数元点的下面——病句。所以此“y轴”是“自相矛盾的非集”。

h定理7：元为正数且至少有两元的V⁺必有最小元。

证1: V⁺中至少>一个元∈V⁺的元y必可表为y=k（y/k）=kx>x∈V⁺而有对应y/k=x∈V⁺，其中k>1是任何使kx∈V⁺的ｋ>1；称此类元y具有性质a。V⁺中有性质a的元y=kx>x>0的全体组成Z⊆V⁺。据勾股定理有无理数,据上述启蒙知识及h常识ZЭy=kx>x∈V⁺表V⁺至少有一元x=x₀<Z一切元y而没性质a即x₀没对应正数x₀/k∈V⁺而不可>任何别的正数∈V⁺从而是V⁺最小元。

证2:独立变量y>0与非独立变量y>0有根本区别。变域是Z的y=kx>x>0中的y（x）被限制所取各数y都须有别的正数x=y/k∈V⁺与之对应从而不可不受任何限制地遍取V⁺一切数，说y=kx>x∈V⁺可取V⁺一切数就是说式中x可<V⁺一切数而取V⁺外数——矛盾。鲜明对比的是独立变量y=x>0就可遍取V⁺一切数，因其所取各数y无须被限制一定有≠y的正数∈V⁺与之对应。证毕。

据h定理7，①任何距离函数ρ≥0的变域都有最小正数元——使芝诺著名“运动不存在”世界难题迎刃而解；②V⁺=S⁺有“更无理”和“更虚”的最小元y=0′使相应符号y/2等，或不能代表数（此时y≠2（y/2）），正如当 x=0时c/x 不能代表任何数一样；或代表数学以外的另类正数，正如比普朗克长度短的非0长度是物理学外的长度一样。S⁺外的“正数”要么不是数，要么是数学外的数。

可用另一方法证U=（0，1）有最小元：S⁺⊃L=(0，k>1) =U∪[1，k）中的U=（0，1）Эx>0变大为y=kx∈L 组成Z⊆L。将S⁺中满足y=k（y/k）=kx>x∈S⁺的元y=kx（k>1）称为平凡正数，因这各y=kx都是由式中x变大为kx而来的，故据函数知识Z是L中一切平凡正数y=kx>x∈U组成的集。据h定理4U至少有一正数元x<Z一切元kx>x，此Z外的x∈U显然是非平凡正数x而没对应正数x/k∈S⁺——说明此x=0′。据h定理1L≠Z（LЭx=y的绝对值是独立变数x=y>0，ZЭy=kx的绝对值是非独立变数y=kx>x。），其实L的元为x>0而Z的元是y=kx>x也从一侧面说明L≠Z，包含Z的L≠Z表明L中至少有一Z的元。

以上中学生都能看懂的一系列论据还很不够，后文对0′还要作更有力的证明。发现0′说明“[0，1]Эx的对应数y=kx（k>1)的全体组成[0，k]”等等，是一系列重大错误。

极限论的j式:ε>ρ=|x-a|（正无穷小）>0中的ε表示什么？ε可是0.1，可是0.01，可是...，...——可是任何有穷正数。据变量定义ε是每取一个数ε都可固定一下的变量，凡变量必有变域，故ε是其变域E的任一元。能由j式中的ε代表的数的全体E就是此ε的变域。由h常识EЭε>ρ>0表有无穷小正数ρ<E一切元ε。有教授说ε是“除了正数外，不受任何限制，即它可以是任何正数^[8]”；许品芳等编《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992）；2003.8出版的[9]书63页：“对于任何正实数ε”“对于任一正（实）数ε”；...。按此说法j式就是重大错误：说ρ>0可变至<任何正数ε而取非正数。非头脑迟钝的学生都能看出这一非常明显的事实，因非数盲者都能一眼看出:说j式与c=0<ε中的ε均是任何正数就是说变数c=0（变域内只有一元）与ρ>0都可变至<任何正数而取非正数。故中国大陆多数编书者都改说ε是“任意取(给)定的正数”（不说在哪一范围内任取且特意不用j式来定量阐明正无穷小概念）且认定这与“ε是任何正数”不等价（否则就不会作此改动）。然而标准数学中常见此推理：0≤|A|<ε，由ε的任意性知A=0（孙念增译《高等数学教程二卷二分册》328页：L-b<ε，由于ε的任意小性，可肯定L=b。）——等价于说：因ε是任何正数故非负的|A|<ε必=0。因若有正数不可由ε代表就不能断定|A|=0。但这一出尔反尔就不易被初学者察觉了；掩盖矛盾与消除矛盾有根本区别。“常数中只有0才是无穷小”的依据是“正数与0中只有0才可<ε”。这使标准数学自相矛盾,因j式中取正数的ρ可<ε（意味有正数ρ<ε）。所以极限论一直有重大错误:直接或隐蔽地变相断定ρ>0可<任何正数而取非正数。鲜明对比的是“任何有穷正数ε>ρ>0”就非病句。有专家说：A是数而j式中的ρ是变量而不是数，故你说的矛盾并不存在。但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的ρ不是变量，数与数之间才能比较大小，而非数的“鬼魂”ρ竟也>0和＜ε；A与变数ρ的区别只是：A的变域内只有一个数，ρ的变域内至少有两个数；只能代表一个数的A是数，至少能代表两个数的ρ竟反而不是数？！越辩解就越是一片混乱啊！起码数学常识：j式表示ρ是介于0与ε之间的数或是取（0，ε）内数的变量。然而教授说：“它是一个变量，它不代表任何确定的数，...^[10]”（注：变量的变域是由确定的数组成的集）。这使不敢怀疑教授会犯常识性错误的学生不禁感叹：数学真是高深莫测啊！

j式的ρ∈R⁺说明标准数学暗含无穷小正变数ρ<ε，R中暗含<ε的正数ρ₀<ε，不论你指定哪一有穷正数ε都有ρ₀<ε。否认存在这类正数与否认无理数一样都使数学自相矛盾。详论见[11][12]。

8.起码数学常识显示有未识正数不可10¹⁰倍于别的正数∈S⁺——洞察x→0也有无限变大的另一面

y=x/10¹⁰+x=θ+10¹⁰θ>0中的末项x=10¹⁰θ≫θ>0总不可忽略即y≈x/10¹⁰+0总不成立是因可→0的x(变域是D)与首项x/10¹⁰=θ相比实在是总距0太远了从而远不可视其为0而忽略——说明→0的x也有相比下总距0太远的另一面从而远不可进入数学一直未能察觉的0的某充分小邻域内！在高精度近似计算中凡有变量x>0不可略必表明x相比下总距0极远。DЭx=10¹⁰θ≫θ>0 直接表达DЭx分别10¹⁰倍于别的正数从而相比下都是距0极远的≫0的极大正数（凡可10¹⁰倍于别的正数∈S⁺的正数都∈D）。各元(相比下)均为极大正数的集远不能包含所有正数——凡违反此起码逻辑学常识的集必是自相矛盾的假集。故中学“既含全部正数而又各元x（≫x/10¹⁰>0且≪10¹⁰x）相比下都是极大（小）正数”的“正数集”是假集。自相矛盾的理论是有头脑且不愿盲从者无法接受的理论，从而极难学难教。绝不可将可取一切正数的x视为0而忽略——此起码数学常识否定“D含一切正数”——说明D外有数学一直未能识的正数x而没对应数x/10¹⁰∈S⁺。“各已知正数x≫x/10³≫x/10⁶≫…≫…相比下全是距0无限远的极大极大…（无穷多个极大）的无穷大正数x。只识此类x犹如上述的只识光年尺度^[13]”远不够用，远不能满足用数来表达运动的需要。

y=x²+x(0<x<c=10^-10)不≈x²+0的原因是一次项x<c相比于x²总距0远而不近从而不可视其为0而忽略，即x→0总不能小到微不足道的程度，相反，其总大到不可略的程度。其中x²可形象化为一□面积，x=1×x<c是长为1千米，宽是x<c千米的长方形K的面积。图像显示K的面积x≈x²总远不成立，唯一原因是差x-x²≈x→0相比下总距0太远从而远不可忽略。近似常识表明x→0的变域内各数x相比下全都是不可略的极大正数。但中学“定义域为D′=（0，c）的y=x+x²”和百年极限论又断定x能不受任何限制地任意逼近0取D′一切数。3百年微积分一直无法消除此尖锐矛盾从而对非常重要的近似计算只知结论而不能说清原理。

科学极不发达期水分子的极渺小性掩盖了其也有无限可分的无穷大性，数学极不发达期x→0的一面掩盖了其也有被限制相比下无限变大的另一面：x/x²=1/x→∞显示分子x(0<x<c)→0与分母x²→0相比是越变越大无穷变大：x<c在不断变小的同时也不断变大:越来越≫x²而可无穷大倍于x²。这使x→0远不可进入0的某充分小邻域内！y=x²>0中的x→0只能在自己的变域内任意逼近0而非能在整个数学领域内任意逼近0；...。极限论误导人们以为只要定义域为R的y=x²+x与x²的非0距离|y-x²|=|x|→0在恒<ε时就必可视x为0而略：y≈x²+0（非0的|x|<ε）≥0，从而误以为y在x=0处有极小值0而搞错曲线y在x=0附近的性态、形状。

近与远是相比较而言的。何谓质点？爱因斯坦：“一个大小可忽略不计的物体，就作为一个点。”（《爱因斯坦文集（一）》204页，中译本，1976年）在光年尺度下地球是质点，北京与广州相距极近而处于宇宙的同一位置：都在地球内（与宇宙相比地球是微尘）;但在公里尺度下两地相距极远,只识光年尺度是远不够的。同理，0<x<任何有穷正数ε时y轴上的点A(y=1+x)与点B(y=1+x²)两者分别无限靠近点y=1的程度是有重大差别的另一面的，虽然两点的距离：1+x-1-x²=x-x²≈x<ε。研究函数在点p邻近的性态应以p为新原点建立局部坐标系。

9.二千几百年“点无大小”使几何学一直不能自圆其说

挖去x轴全部点，x轴就变成位置洞集。“长度都=0的位置洞能形成长≠0的洞集”是不合逻辑的。设x轴各元点不可重叠(合)在同一位置上使沿x轴移动的元点只能移动到空位内；x轴没空洞使各元点能沿轴移动的最大距离是0，正如挤满人的电梯内的人都没运动的空间一样。挖去x轴原点就空出一位置洞x=0（可供点运动的空间），这有洞x轴的线段h=（0，1]各点x都沿轴负向平移一个点的长度距离ρ₃到空位内形成元为点x′=x-ρ₃的线段[0，1-ρ₃]Ì有洞x轴从而又生一新空位x=1，h所平移的距离ρ₃是容纳原点的位置洞的长度。“ρ₃=0”就是说h能沿轴移动的最大距离是0即1-ρ₃=1。这与事实不符——产生科学悖论的原因。h若没移动就不能使原有的空位内又有点了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不识未知正数ρ₃就否认h可平移的事实。又例因“点是点集的一部分”，故“长为0的点能聚集成有长线段”中的“线段”是明显不合逻辑的假无穷点集。故“点无大小”公理是不合逻辑的自相矛盾概念(这是数形结合出现“全部点可与部分点一样多”“分球怪论”等形形色色怪论的根源)。后文还要续论此事实。故须提出符合客观实际的“点”概念。“点”的问题是点集论与几何学的最根本问题。

10.提出数容器概念推翻百年集论从而可看图识N的无穷大元——有首项的无穷序列都有末项

1，3，2中有数改变了位置就形成另一数列3，1，2了。可见数列不但与数有关且与各数的所在位置有关，故其一项中有两个成员：数和数所在位置。直线是由其像素点各就各位地分别占据一定位置而形成的，同样数列{a_n}无非是各数各就各位地进入各指定位置“座位”排成的一行（列）数，各座位与各a_n已一一配对：a_n↔n号位。座位可由○形象表示（也可将○看成是只容一数的数容器），挖去一数就留下一单身位置○, 正如挖去复平面一个点就留下了一个“洞”那样，挖去全部数就留下空位○序列。故可记数列N={①②③...},其中○表示数的座位，仅仅挖去其全部奇数而非奇数项就得与其等长的L：○②○④○...，“拆东补西”地让各n=2q都移入q=1，2，...号位得②④⑥…；○○...中各n=2q都换为q得①②③...；○○...——前列是“夫妻”列，后列是空位列，因“拆东补西”前、后的单身空位是一样多的。各空位的位号数n显然都是无穷大自然数>前列一切数q。详论见[14]。

N中各数可交换位置，看图可知一ｎ前移“夺占”ｎ′的座位○的同时其原座位也变空而在ｎ后，这是一对一的，故被夺占位置的数都可后移到空位上。故当N各偶数n=2q都前移到n=q号位（被夺座位的数可后移而总有空位与之对应）后就得K：②④⑥…；…——因K还含N全部数故K中有两无穷数列：前列Q含N全部偶数，后列的数都是奇数j_n（n=1，2，…）∈N且都处在K一切偶数n=2q的后面而都与②相隔无穷多个数；故K中有首项是②，末项的数是j_n的各无穷数列。朱梧槚大著[4]218页中含N全部数的“2，3，4，…，n，n+1，…，1”中的1是该数列的末项。

h定理8（改天换地的改偶定理）：无穷“夫妻”数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方的“人”之间任意重新配对（有的人“喜新厌旧另结新欢”改配偶使有的人变成“单身”，…。）后，一方出多少个单身，对方也必只能出多少个单身。

证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新夫妻的各自原配偶就成分属男、女方的一对单身，一单身“再婚”就或使对方一单身也再婚，或拆散一对夫妻而生一与其同“性别”的新单身，没别的可能。故F中人任意改配偶(新配偶必是F中人)后一方出n个单身的同时对方也只能出n个单身。证毕。

设两不交且非空的集d、h 的并集记为d+h=H，d=H-h，非空D～D表示两D的元已一一配对：x↔x。

h定理9：任何无穷集W的任一非空真子集w的元必少于W⊃w的元而不～W