再论凭中学数学常识发现中学数学一系列重大错误
——数列最起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]数列最起码常识让5千年都无人能识的标准无穷大自然数及其倒数一下子暴露出来从而揭示有首项的无穷数列必有末项。中学的集合、几何起码常识和区间概念凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了（所以“直线公理”和“R轴完备、封闭”论其实是将无穷多各异直线误为同一线的“以井代天”的“井底”误区），凸显存在：①几千年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段；②2500年都无人能识的<（>）R一切正数的标准无穷大、小正数。不识这类“更无理”的数和直线段使中学几百年解析几何一直张冠李戴地将两异点集误为同一点集，从而产生出病态的“高深”理论：直线段的部分点可与全部点一样多；射线S沿S正向平移变为射线S′≌S是S的真子集;巴拿赫-塔尔斯基定理。
[关键词]N外标准无穷大自然数及N最大元；貌似重合的伪二重直线段；等长却不“等势”的直线段；用而不知的“更无理”数；推翻百年集论和百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；推翻巴拿赫-塔尔斯基定理；保距变换；著名数学家朱梧槚
1 导言：不能不重视著名数学家朱梧槚的“超人”发现
百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到康脱的集论中的“无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。本文证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集。一切已知自然数n组成无穷数列（集）N，N各元n均有对应标准自然数n+1等等。自识自然数5千多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数。然而数列最起码常识凸显凡有首项的无穷数列必有末项从而使N的最大元等标准无穷大自然数及其倒数一下子暴露出来推翻集论立论的论据:N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N。所以须重新认识级数论。法制界有将无罪人判为死刑犯的悲剧，科教界有将自相矛盾的病态学说误为“最伟大创造”的悲剧。本文是[2][3]的继续与深化。
公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理。这说明人类认识直线段已有几千年。“科学起码常识”：数学，尤其是“已非常成熟”的初等数学中关于自然数和直线（段）方面的知识绝不可能有重大错误;数学的公理、定理绝不可能被推翻。有一种很有市场的“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。挑战“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：重合相等的图形必合同。②集合起码常识d：数集A=B是说A的元x与B的元y必可一一对应相等即A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A。③区间概念。故高中生也有能力分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？从而也能一下子认识几千年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段。一次函数y（x）=kx+b是初等数学中最简单的函数，①②③显示“非常成熟”的初等数学对这类y的值域的认识一直存在极重大错误。
2 不识“更无理”数使中学几百年解析几何一直误将两异直线段误为同一线段——由发现无理数到发现“更无理”的标准无穷小、大正数竟须历时2500年
2.1 集合、几何起码常识凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了
因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x+△x的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴的元点x沿R轴方向移动变为还在g内的点x′=x+△x，即实数的改变可形象化为管道g内点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的点是同一点）。数学的图形可是离散的点的点集。点集：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x组成的B≌A，因恒等变换是保距变换故当x′=x时B=A≌A。A≌B≠A是说A与B是不同地点的同一图形。铁球是铁分子的集合A，A变形为铁板是因其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铁分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。
在纸片A上画上几个点形成一点集。将A挂在画有直角坐标系的黑板上后再让A沿黑板不断移动（保距变换），此时各点的位置坐标不断变化但点集的组成成员、组织结构、各成员(所画上的那几个点)之间的距离关系，始终都没变。这说明：点的坐标与点本身有根本区别从而使点集与数集有根本区别。
设A=｛x｝表A，变量x的变域是A；A=｛（x，y）｝表A是元为有序数偶（x，y）的数偶集；A=｛（x，y），（，y′）｝表A是由数偶（x，y）和“单身”数y′组成的混合集，（，y′）表示单身y′若变为非单身则其只能处于有序数偶的右边。其余类推。任一数集A=｛x｝同时也是数偶集A=｛（x，x）｝。各（x，x）中的x可改与x+1配对成（x，x+1）。
h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要条件是A各元与B各元有一一对应关系：x↔y=±x+常数c；所以A≌B的必要条件也可表为：A各元x有对应y（x）∈B且△y =±△x。
证：由A≌B的定义A≌B时A与B的元必可有一一对应关系：x↔y=y（x），距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。证毕。
同理，二、三维空间点集A≌B的必要条件是...。
注意：欲判断A⊂R（各元均由x代表）与B⊂R是否≌时，若A各元均由x代表则B各元须均由y=y（x）（x∈A）代表，因若A≌B则A各元x保距变为y=y（x）组成B=｛y（x）｝≌A。
数列N各数n变为一对数（-1,1）形成由各有序数偶（-1,1）组成的数偶序列X=｛（-1,1）（-1,1）（-1,1）...｝，N～X表示N有多少个项X就有多少个项。X增一数1就变为由数偶和数1组成的混合序列E=｛1,（-1,1）（-1,1）（-1,1）...｝，E中“单身”数1与任一-1配对成（-1,1）的同时-1的原“配偶”1就成一新单身数，所以E中正、负数无论怎样重新配对后都必有一单身数1从而使E不能成为各项是（-1,1）的数偶列。为什么？因E中正数比负数多。所以E中：所有1组成的无穷数列的项多于所有-1组成的数列（～X～N）的项。这说明X～N增一项变为新序列中的项多于X～N的项。“故有革命结论：一给定无穷数列增（减）1个项后必比原来多（少）1个项，...[4]”。
所以有的数列（其各数可两两配对）可变为数偶列，而有的数列就不可。一交错级数1-1+1-1+1-1+...的项不可两两配对，然而课本却有：可对其加括号变为（1-1）+（1-1）+（1-1）+...=0。这是几百年的重大错误。
h定理2（真扩集定理）（参见[5]）：非空A⊂K的元必少于K的元从而使A不可～KÉA，所以凡～K的集必不⊂K。
证：各元可两两配对的数集A各元两两配对后形成的数集还是原数集，因这配对没使A的元有任何增减。数集A=｛x｝=｛（x，x）｝。A的元均用x代表，另一A=A的元均用x=x代表,各x和x一一配对后组成既是数偶集同时也是数集的W=｛（x，x=x）｝=A∪A=A，A∪A中1一A=｛x｝单独增元y≠x变为它的真扩集K=A∪｛y｝=｛x｝∪｛y｝，W=A∪A相应变为由数偶和“单身”数y组成的混合集W′=A∪（A∪｛y｝）=A∪K=W∪｛y｝=｛（x，x=x），（，y）|x与y均∈K｝。W′中一单身数y∈K与任一非单身x（x只能与K的元配对）配对的同时这x的原“配偶”x就成一新单身∈K，因此W′中的数不论怎样重新配对（x只能与x及y配对）都不能改变W′=A∪K中A=｛x｝各元x均有配偶∈K而无单身，K总有单身而无配偶∈A的格局。为什么？因K的元多于A的元从而使A不～K。这说明A增元变为A的真扩集K，K的元必多于A⊂K的元。证毕。
“重新配对”是指W′中各数之间的重新配对，“魔术师”“神不知鬼不觉”地将W′外数“拉进来”当作W′中数参与新配对就会出现迷惑世人百多年的假象：......。没有思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。
h定理3：至少有4元的K=｛x｝的任何真子集A=｛x｝⊂K都不可≌K。
证1：因保距变换不能改变点集的组成成员，故K去掉部分成员（元）变为A⊂K是非保距变换使A不≌K。证2：A≌K的必要条件是K～A。据h定理2A⊂K的元少于K的元，故K不≌A。证3：将A的元记为y=x∈A⊂K，因K的元x与A的元y=x不可有关系：x↔y=x故据h定理1K不≌A。证毕。
文[6]有一改天换地的改偶定理：
h定理4（改偶定理）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”“另结新欢”改配偶使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身。
证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新“夫妻”各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身x（y）“再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与x（y）同一方的新单身，没别的可能。故F中人任意改配偶(新配偶必是F中人) 重新配对后一方出n个单身的同时对方也只能出n个单身。证毕。
h定理5：数集A非恒等变换地保序变换为B必≠A。
证：A各数在集内分别都有一定的大小“名次”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的数，1是第二大的数，0是第三大的数；A各元x保序变为x2组成B={0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的鸡组成集合A和B，a（b）是A（B）中第n大的鸡，显然若A=B则a和b必是同一鸡。任一A=｛x｝各数x保序变为y=y（x）组成B=｛y（x）｝，x∈A在A中的大小名次与y（x）∈B在B中的大小名次是一样的，显然若A=B则x与y（x）必是同一数，故若y（x）不≡x则B≠A。证毕。
h定理6：若点集A（至少有两元）各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x0的距离ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）- y0（x0）|=B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
证：由A≌B的定义ρ′=ρ。证毕。
极显然：点集：.....各点任意交换位置后还是原来的点集，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。高中有“平面内的不变直线”知识。集合起码常识d和几何起码常识c显示自有变换（函数）概念几百年来数学在变换前后的直（射）线是否为同一直（射）线的问题上一直存在重大错误：将变动了的直（射）线误为不变直（射）线。
“包含一切已知标准正数的R各数x均有对应标准数x+1和x/2以及xn（自然数n≥2）等等”。将直线A变为直线B的仿射变换是有保距变换和非保距变换之分的。说R轴各元点x可保距变换为点y=x+△x=x+1>x就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴，其余类推。初中生就须正确认识一次函数y=x-1的定义域即函数x=y+1的值域；...。R轴即x轴各点x沿轴非恒等变换地保序平移变为点x′=x+1生成元为点x′的x′=x+1轴≌x轴叠压在x轴上，中学数学一直认定x轴=x′轴即x′=x+1的值域x′轴=x轴，因初中几何有直线公理：过空间任两异位置点有且只能有一条直线。其实这是违反集合起码常识d的肉眼直观错觉。理由：
⑴据h定理5这非恒等变换前后的直线不相等。⑵R各数x保距变为x+1组成R′（～R且≌R）各元x+1与R各x不可一一对应相等：显然R各x只可与各x+1∈R′中的x一一对应相等而不可与各x+1本身一一对应相等；两R轴成二重轴而由一对对二重点（x，x）组成，一R轴各点x沿轴正向保距前移变为点x′=x+1，各前移点x+1∈R′轴与各不动点x∈另一R轴显然不可一一对应重合在一起了，因点x+1都在点x的前面，各前移点欲与各不动点一一对应重合就只能各自退回到原位。据集合起码常识dR′≠R。
⑶设R所有非负元x≥0组成R+。据h定理3≌R的R′不是R的任何真子集。据h定理2R′～R不是R的任何真子集——说明≠R的R′各元x′=x+1并非均∈R而其中必有x′=x+1在R外，因各x′=x+1>x∈R故R外的x′=η必是>R一切数x的标准无穷大正数，而1/η是无穷小正数。所以R+各元x≥0的对应数x′=x+1中有>R+一切数x的η。x轴的射线x≥0即射线R+有子部射线s（⊂R+）：x≥1（由R+一切≥1的元x≥1组成），射线x≥0（x+1≥1）沿R轴正向平移距离1变为≌R+的射线s′：x′=x+1≥1；射线x≥1与射线x′=x+1≥1重合吗？因在射线x′=x+1≥1中有>R+一切数x≥0的η故两者不重合。≌R+的s′～R+，据h定理2s′不是R+的任何真子集。非空点集A中若有两成员重合成一个成员那就相当于A去掉了部分成员。A={0，1，2}各点x保序变为2x组成{0，2，4}的变换是：A去掉了元点1的同时又吸收A外点4作为新元从而不能变为A的真子集。集合起码常识b：数集A减去部分元而又没吸收A外数作为新元才能变为A的真子集。数集R+保距变为s′的变换使R+失去了小于1的元，但s′又非R+的真子集——说明R+失去了部分元的同时必又吸收R+外数作为新元才能变为s′。所以集合起码常识b凸显s′中有R+外数。
所以射（直）线A沿A正向平移非0距离变成的射（直）线B≌A中有元点“更无理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现违反集合起码常识d的尖锐自相矛盾。在“一一对应相等”中应注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括号外的x和y=x+1的变域均为区间q=[0，1]，即q各元是x，当变数x的变域是q时；q各元是y=x+1，当x的变域是[-1，0]时；x可=x0∈q，y=x+1也可=x0∈q，各x=x0与各y=x+1=x0当然可一一对应相等：x=x0↔x+1=x0（恒等变换），但要注意箭头两边的x是不相等的。
R轴即x轴各点x沿轴非恒等变换地保序不保距平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的x′=0.5x轴叠压在x轴上，中学一直认定x轴=x′轴，因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。理由：⑴据h定理5这非恒等变换前后的直线不相等。⑵x′=0.5x轴不≌x轴，据几何起码常识cx′轴≠x轴。⑶各0.5x只能与各对应数x=0.5x+0.5x中的0.5x一一对应相等而不可与各0.5x+0.5x本身一一对应相等，显然在点x↔点x′=kx中当且仅当正常数k=1时才可有x↔kx=x。
由上可见中学的集合与几何起码常识凸显：⑴R轴沿本身平移或伸缩（伸缩系数k>0且≠1可取无穷多数）可变为无穷多各异直线（均由标准实数点组成）相互叠压在一起，而中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异直线误为同一线：R轴。这是因数学一直不知有R外标准实数，不知伸缩前后的直线若组成成员相同则组织结构不同，两者是“同分异构”体。所以“直线公理”和“R完备、封闭”论是“以井代天”的“井底”误区。⑵射线x≥0非恒等变换地保序不保距变为射线x′=x+△x≥0与射线x≥0不重合。所以“沿本身平移或伸缩前后的直线是同一线”中的“直线”因违反几何、集合起码常识从而确是如上述4位数学家所说“是自相矛盾的非集”。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意下文表明[0，1]与[0，1]⊂x轴或x′轴等，有根本区别；......。
2.2 中学几百年解析几何一直误将两异直线段误为同一线段——百年病态集论的症结
流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“定义域=[0，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[0，1]⊂R”其实是违反几何起码常识c和区间概念的肉眼直观错觉。直线段L=[0，2]⊂x轴有子部线段D=[0，1]⊂x轴即L=D∪（1，2]⊂L，L各元点x沿x轴负向平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的线段D′（～L）=[0，1]⊂x′=0.5x轴。～L的D′≠D⊂L的理由：
⑴据h定理2D⊂L的元少于L～D′的元说明D与D′等长却不“等势”从而不≌；因D各元x有对应x′=0.5x∈D′但△x′=0.5△x≠±△x，故据h定理1D不≌D′；据h定理1D各点x通过各种保距变换变为新的点的坐标只能是x′（x）=±x+c，这说明D不可通过保距变换变为元为0.5x（有部分x∈D）的D′，即D′不≌D。据几何起码常识cD′≠D。有一种说法:数集D各元x（0≤x≤1）与D′各元0.5x（0≤0.5x≤1）可一一对应相等,因x可=0.1，可=0.2，可=...，各≤1的数均∈D；0.5x可=0.1，可=0.2，可=...，各≤1的数均∈D′；这前后各0.1，0.2，...可一一对应相等从而说明D′=D～D。假设此说法正确“～L的D′=D”成立则D=D′各元均由x代表的同时也均可由0.5x∈D′代表，在D=D′各元0.5x 与L～D′各元x一一配对成一对对（x，0.5x）后再令D=D′各元0.5x改与=自己的数y∈L=D∪（1，2]⊂L配对，所有新配偶y组成的集是D=D′，此时D=D′有0个单身，据改偶定理L=D∪（1，2]⊂L也只有0个单身，然而事实上若D=D′则L中D以外的数∈（1，2]⊂L都是单身而无配偶∈D，因L中D的元与L外D=D′的元0.5x已一一配对。故假设不成立“D′=D”是一种错觉。⑵据h定理2～L的D′不是L的任何真子集——说明≠L的D′各元x′=0.5x并非均∈L而其中必有“特异”的x′=0.5x=t在LÉD外，因各x′≤1且≥0故L外的x′=0.5x（x∈L）=t必是<L一切正数x的正数，显然这L外t是R外标准无穷小正数，而1/t是R外标准无穷大正数；显然0.5t<t和t2等等也<L一切正数。数集L=D∪（1，2]⊂L变为D′的变换使L失去了部分元∈（1，2]⊂L，但D′又非L的真子集——说明L失去了部分元的同时必又吸收L外数作为新元才能变为D′。所以D′中有L外数x′。
⑶0<…<0.1x<0.3x<0.5x<x<1。区间Q=[0，1]=[0，0.1x]∪[0.1x，0.3x]∪[0.3x，0.5x]∪[0.5x，x]∪[x，1]的子区间[x，1]中的变数（高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。）x>0且≤1由大到小取值而由1处出发→0遍取D=[0，1]⊂R+一切正数x时[x，1]的长由0→1地逐渐变长而长到包含D一切正数元x∈[x，1]，据区间概念此时Q中包含D一切正数x的[x，1] 之外还有无穷多正数t′∈[0，x），这类t′是标准分析一直用而不知的“更无理”的标准无穷小正数<D一切正数x∈[x，1]使R远不可包含一切标准正数（无穷多正数t′的倒数显然也在R外），关键是x>0被限制只能在[x，1]⊂Q内取值。可见区间概念表明存在t′——推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。
将两不等势从而不≌的线段D′～L和D⊂L误为同一线段的中学几百年重大核心错误使康脱推出错上加错的病态理论：L～D⊂L。可见“=D却不≌D的D′”中的D′=D显然确“是自相矛盾的非集”，而真正的无穷集D′≠D。
将一根针全部插入一蜡烛内，针不能成为蜡，但肉眼不能察觉蜡烛内有非蜡的针；同样，D′与D是貌似重合的伪二重直线段，两者只有重叠或相互嵌入关系而无重合关系，D′∪D≠D；但“肉眼”阶段的数学一直不能察觉D′与D似是而非，不能察觉D′中有R外标准无穷小正数。科学“慧眼”阶段的数学就能察觉...而不被伪二重集迷惑。
设射线x≥0去掉起点x=0后就成为“缺起点”射线x>0。[7]书将R轴一切正数点x组成的射线x>0称为正实轴。复平面z=x+iy的点z=0的对应点w=z2=0。[7]书208页：映射w（z）=zn（自然数n≥2）将正实轴z=x>0映射成正实轴w=zn=xn>0。说射线z=x>0的象w=zn=xn>0也是射线是正确的，但说这象=原象就违反几何起码常识c了，因映射z↔w=zn是非保距映射使象不≌原象从而更≠原象。
射线x≥0即射线R+各元点x沿R+非恒等变换地保序不保距平移变为点x′=x+△x=x2≥0生成元为点x′的射线x′=x2≥0，按上述证明x轴≠x′=0.5x轴的方法易证它们不重合。同理在变换x2↔x4（或x6等等）下射线x2≥0（x的变域是R+）的象：射线x4≥0等等均≠射线x2≥0。可见中学数学一直将无穷多各异射线x≥0、x2≥0、x3≥0、...、2x2≥0、3x2≥0、...误为同一线。
同理D=[0，1]⊂R+各元x≥0非恒等变换地保序不保距变为x′=x2组成元为x′的D″=[0，1]⊂射线x′=x2≥0是≠D的，中学几百年“D″=D”是被伪二重集迷惑。据h定理2D″～D不是D的任何真子集——说明≠D的D″各元x′=x2并非均∈D而其中必有非1正数x0′=x02<x0∈D在D外而<D一切正数x；0<…<x3<x2<x<1，据区间概念也能证此“更无理”数x0′的存在。所以D″是几百年用而不知的点集！同理D各点x非保距变为点x′=xk（正常数k≠1）生成元为点x′的集≠D。
数学史表明没无穷数就没高等数学。“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…[8]”。莱布尼茨:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[9]。”标准分析之前二千多年的数学一直“非法”使用无穷大、小数，行之极有效，但对这类“数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用‘不存在’的‘数’进行推理计算竟能使欧莱、布尼茨拉及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。
3 数列最起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来——证明有首项的无穷数列必有末项
数列最起码常识：无穷数列A={an}（其中没相等的数）各数an均有序号数n与之配对而均在第n号位置。A各数任意改变前后位置后就形成≠A的数列了，故A是由数与容纳数的位置两部分组成，A一个项有两要素：一个数an及与其配对的n号位，缺少哪一要素都不能构成一个项。所以相应各数与各位置序号数n一一配对才能构成一各数互异的数列；相应各位置与各位置序号数n一一配对才能构成一位置序列。位置可用□形象表示从而可看图识革命道理：数列N={012...n…}（N中有数集N和位置集）中n表示n在第n号位内而与该位组成N的第n项，即“无穷旅馆”N中数n都“住”在n号“房间”内；一n前移“夺占”n′的房间的同时n的原住房也变空，故被夺房的n′可后移到空房内。将N各数挖去就得空房序列{n号房}（ｎ=0，1，2，...）。级数论的“黎曼更序定理”是建立在“数列A各数任意改变前后位置（一位置只能容纳一个数）后就形成还由A全部数与位置组成的数列”这一数列起码常识之上的。如[6]所述N各非0数n≥1可保序前移一格改与n-1≥0号房配对，而0可后移到N的空房内从而形成有末项的M={1234…0}即各n≥1改与n-1≥0号房配对后，0就可移到各非0数的后面而处在第Ω号房内，显然Ω是N的最大自然数——推翻百年自然数公理。也许有人说：N各数如此改变前后位置后就变为非数列的M了。但M还由N全部数与房间组成从而必有第Ω号房，N各数可移动但N中各空间位置□是固定不动的，这就说明存在有首、末项的无穷位置序列。何为序列？各元能与相应各序号一一配对的集的元可排为一序列：0号元,1号元，2号元，...，n号元，...。其实数列最起码常识说明可有数列定义：在一空位序列各空位内都“放入”数（一位只能容纳一数）就得一数列。
设G=N各元均用n=n代表。G=N与N成二重集W=N∪G=N而由一对对有序数偶（n=n，n）组成，W={（n=n，n）}=N；W=N∪G中的N各非0数n（≥1）=1，2，3，...（各n有配偶n=n∈G）改与比n≥1小的n-1=n-1（≥0）∈G=N配对（所有新配偶n-1≥0=0组成J={0，1，2，3，…，n-1≥0=0，...}后，N的0数：n=0就成N中唯一的单身（n=0的原配偶n=n=0∈G已改与比0大的n=1∈N配对），据改偶定理在G=N中也必有唯一的单身Ω=Ω，这J外的Ω=Ω显然是G=N的最大自然数而与1∈G相隔无穷多自然数∈G=N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的标准无穷大自然数，显然其倒数＜任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。
按证明存在Ω的证法易证有首项的无穷序列都有末项。所以N所有偶数n组成的{0，2，4，6，...}有末项；...。将N中0挖去得有空位“单身”的Y={□12345…}，Y中有数移入□的同时其原“住房”也变成□，故Y中数与□不可通过重新配对而使Y变成没空位的序列。为什么？因Y中数比“房间”少——说明同样是有首项的无穷序列，此列的项可多于彼列的项。
保距且保序变换将有最小元的数集A的最小元变为新数集B≌A的最小元。N去掉0变为N的真子集N+={n≥1}⊂N，N各元n≥0保距且保序变为n的后继y=n+1>n生成～N的后继集H={1，2，...，n+1≥1，...}（n≥0）≌N，中学几百年“N+=H”其实是将两异数列误为同一数列的肉眼直观错觉。理由：⑴N保距且保序变为H，“=H≌N”的N+各元n≥1到N+的最小元n=1的距离是n-1≥0（n≥1的变域是N+)而N各元n≥0到N的最小元0的距离是n-0=n≥0（n的变域是N)，因距离n≥0与n-1≥0 不是同一距离函数故据h定理6N+不≌N——说明≌N的H≠N+。⑵据h定理3≌N的H不是N的任何真子集。据h定理2H～N不是N的任何真子集——说明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有标准无穷大自然数y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，这N外自然数n0+1>n0∈N显然>N一切元n，显然n0∈N是N的最大元，因其后继在N外。⑶N保距变为H≌N的变换使N失去了一个元0，但H又非N的真子集——说明N失去了0元的同时必又吸收N外数作为新元才能变为H。所以H中有N外自然数y0。
所以标准分析否定无穷大自然数及其倒数是百年重大冤案。以上说明“对加法封闭的R、N”中的R、N因违反保距变换概念从而确“是自相矛盾的非集”，而真正的无穷集R、N对加法不封闭。
若一筐苹果A的果与人群R中的人能一一配对则R一部分人都人手一果∈A后，R另一部分人也都可人手一果∈A。同样若无穷数列A={1，1，1，…}～B={-1，-1，-1，…}则A中处于偶数号位置的1都与B中-1配对（一正数只能与一负数配对）后，A中处于奇数号位置的1也都必可有B中-1与其配对。这应是逻辑学起码常识。
若A～N则A的元都可编上自然数∈N号码记为：第0号元，第1号元，第2号元，......；因“A各元都可配上自然数∈N号码”故不能想当然地、自相矛盾不合逻辑地断定给A的真子集各元都编上自然数号码就用光N一切数n了。所以可先给～N的N=｛0｝∪N+各非0数n≥1都编上自然数号码：1=第0号元，2=第1号元，3=第2号元，...，n（≥1）=第n-1（≥0）号元，...（所有序号数n-1≥0组成J={0，1，2，3，...}）后，接着还可在J外取序数∈N给N的0编上自然数号码：0=第Ω号元，这J外的Ω显然是N的最大自然数。同样可先给N各偶数都编上自然数号码后再给N的奇数都编上自然数∈N号码；...。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现一系列不合逻辑的尖锐自相矛盾。
4 推翻巴拿赫-塔尔斯基定理
z=x+iy面可伸展成w=f（z）=x+i2y=u+iv平面叠压在z面上（非保距变换）。数学一直认定w面=z面。其实这是肉眼直观错觉。因z面不≌w面从而更≠w面。同理在非保距变换：点（x,y）↔点（X,Y）=（2x,3y）下，元为点（x,y）的xy平面的象：XY平面≠xy面。所以复变函数论中的：某非保距变换...将z平面变为自己；其实是将两异面误为同一面。...。几何学有一病态的巴拿赫-塔尔斯基定理，据此定理可推出“一颗豌豆可变成硕大无比的太阳”；据h定理可证此“高深莫测”的“定理”的症结是将“自相矛盾的非集[1]”误为无穷集，从而将伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形。
5 将“非常高深理论”还原为非常朴实科学常识势必能大大减轻学生学习负担和缩短学制
学习上不能满足于只知结论不懂原理的低层次浅薄。傅种孙：“有多边形于此,截去一角所余必不与原形等积。试问何以知其然？答道‘全体大于部分’。区区6字就解决了。事实上问题并不是这样简单，须知希尔伯特费十数页的篇幅才把它解决的。”（《数学通报》1962/11，25页）——可见“全体大于部分”的正确性使希尔伯特费十数页的篇幅才能解决的问题只用区区6字就解决了。本来根据连小学生也一看就知的非常朴实的几何常识就能证明的小学数学题却要“故弄玄虚”地变为需据“非常高深理论”费十数页才能证明的大学数学题，这是典型的化简为繁、化清为浊。数学的证明中有不少类似这样化简为繁的例子（例对隐函数存在定理的证明）。这势必大大增加学生的学习负担（使“减负”成空话）和不得不延长学制。产生出远远脱离实际从而对经济建设和加强国防毫无用处的“高深莫测”“数学”的症结是对数与形的认识有惊人浅薄和极重大错误；“深入才能浅出，浅入就只能深出。”“假传万卷书，真传一句话。”“大道至简至易”，小道至繁至难。
6 结束语
“区区6字就能解决”变成“费十数页才能解决”现象说明百多年集论百多年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失，是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。能放大（缩小）无穷大倍的思维望远（显微）镜使5千年都无人能识的N∈R外自然数以及2500年都无人能识的R外标准实数一下子原形毕露。没思维望远（显微）镜的“肉眼”数学被无穷对象中的假象迷惑从而陷入以井代天和张冠李戴的“井底蛙”误区，这误区使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“井底”一下子跃出进入到认识“更无理”的数和图形的时代从而不再被蒙在“井”里；从肉眼数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[10]”。
参考文献
[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。
[2]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
[3]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
[4]黄小宁。再论真正常识否定5千年“常识”：没最大自然数——数学课本极重大根本错误：将两异集误为同一集 [J]，科技视界，2012（4）：30。
[5]黄小宁。极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）：84。
[6]黄小宁。数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界，2015（32）。
[7]西安交通大学高等数学教研室。工程数学：复变函数（第4版）[M]，北京：高等教育出版社,1996。
[8][美]爱德华著，张鸿林译。微积分发展史[M]，北京：北京出版社：1987：368。
[9][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社, 1980:30。
[10]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社：1996：188。
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