图形B=B≌B凸显中学数学有一系列重大错误
——让5000年都无人能识的自然数一下子浮出水面
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]初等几何最最起码常识e：有界图形B=B≌B。初等几何有史2300多年来一直认定:至少有两个公共点的直线必重合（从而有初中的直线公(定)理），两等长闭直线段必可通过移动而重合即等长直线段必≌。此2300多年初等几何“最起码常识”被常识e推翻从而让3千年都无人能识的伪二重直线段⊂相应直线一下子浮出水面。“配对”常识推翻百年集论使5千年都无人能识的自然数和2500年都无人能识的R最小正数元⊕（人类认识分数后的2500多年里一直不知存在⊕）和R最大元以及它们的倒数一下子浮出水面。不识这类“更无理”的数和直线段使初等数学有一系列重大错误从而使300年微积分一直存在尖锐自相矛盾。证明了作为“实无穷”点集的“直线”其实是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）变换前后有不同的长短。
[关键词]N最大元; R有最小、大正数元；“配对”常识推翻百年集论和百年自然数公理；推翻直线公（定）理；推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；假N及伪二重、伪≌点集；直线（段）的伸缩变换；有序连续变化的变化规律
一、导言：“太狂妄无知”的“反科学”发现来自太浅显的数学起码常识
美国著名数学史家M•克莱因教授很有代表性地断定：“实数系统已经用了五千多年，无数关于实数的理论均被证明，仍未发现任何矛盾。实数公理产生了许多著名定理，…[1]”。本文和[2][3][4]表明：五千年都无人能发现关于自然数的理论有任何矛盾≠其真的没矛盾而是一直存在一系列尖锐矛盾,只不过一直缺乏发现尖锐矛盾的慧眼罢了；存在矛盾的原因是认识自然数已有5千多年的数学一直不识“更无理”的标准无穷大自然数从而将“自然数集”N外自然数误为N内数从而将似是而非的假N误为N，进而将非可数集误为可数集。症结是不知R仅是标准实数全体的沧海一粟（本文揭示标准分析与非标准分析等价的原因是标准分析一直在用而不知地使用R内、外标准无穷小、大数）。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。“科学”共识：因数学是严密精确的代名词故数学，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等数学对直线（段）这一最基本、简单图形的认识绝不可能有极重大错误；2300年都无人能推翻的初等数学公(定)理绝不可能是错误理论。百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。刊登在《考试周刊》2018年第71（“起义”）期的文献[4]有“起义”发现：“至少有两公共点的直线必重合，等长直线段必≌。”这一2300年初等几何“最起码常识”其实是将无穷多各异直线（段）误为同一直线（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”误区——百年病态集论的症结；所以被病态集论统治的现代数学不能不弃暗投明地“起义”：从2300年黑暗“井底”起升到光明的井外进入到认识“更无理”的数和图形的时代，从而不再被蒙在“井底”误区。本文是对[2][3][4]的重大补充。“连小学生也知两等长闭直线段必可通过移动而重合”。“因太无知从而太狂妄”的“反科学”发现来自太浅显的：⑴初等几何最最起码常识e；⑵“配对”常识和近似计算常识；⑶不等式起码常识和区间概念。故具有高中文化水平者也能分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？
二、可看图识“字”：组织结构不同的点集必有根本区别——非保距变换必打破点集的原有组织结构
人的骨头A得了骨质疏松病变为B，肉眼看B=A，但其实两者有根本区别。有了电子显微镜使医学发生革命飞跃，同样，深入到“点”这一层次上来研究图形让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的伪二重直线段（见第二节）。
何谓质点？爱因斯坦：“一个大小可忽略不计的物体，就作为一个点。”（《爱因斯坦文集（一）》204页，中译本，1976年）天体力学中的地球可是质点。因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+δx（δx可=0也可≠0）故x变换为实数y=y（x）=x+δx（δx=y（x）-x是x的函数）的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿管道g移动变为还在g内的点y=x+δx，即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。《复分析可视化方法》是复分析领域的一部名著，其公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。显然没有宽度的曲、直线和没大小的“点”是没有形象的，从而是不可视的。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为 R轴各点；变数可形象化为g内的动点。数学的图形可是离散的点的点集，例将R轴一切非整数点都挖去得到的点集是离散的点的点集。有了各点还须有规定各点如何排列、聚集的法则才能确定一点集；点还是这些点，但其可聚集成长度为c的直线段A也可聚集成曲线段等等，正如同一堆砖头可组成平房也可组成楼房一样，A还可伸长（压缩） 变长（短）为新线段(～A)还由A的全部点组成。极显然：R轴上的点集E：……（这不是省略号）各点之间任意交换位置后还是原点集E，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。将R轴各无理数点都挖去就得有许多“漏洞”的有洞直线。同样可将点集E看成是有洞闭直线段。看E可悟出h几何重要原理：直线段A的组成成员不变，但任两异成员之间的距离一发生改变就必使A变为B≠A；因不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。要注意集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。
一杯水是水分子的集合A，A平移到新位置成A′或A变成水蒸汽B还是由A所有水分子组成的集，这平移只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构，而B就与A有不同的组织结构从而使B中与A形状（杯形）、体积相等的部分≠A。保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。在纸片A上画上几个质点形成一点集。将A挂在画有直角坐标系的黑板上后再让A沿黑板不断移动（保距变换），此时各点的位置坐标不断变化但点集的组成成员、组织结构、各成员(所画上的那几个点)之间的距离关系，始终都没变。这说明：质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数集所没有的独特性质。数形结合须跃出根本误区。
减员变换及压缩变换都可使直线段A=[0，2]⊂x轴变短：将（1，2]⊂A挖去，A就变短为[0，1]⊂A，这是不改变点集的组织结构的减员变换；A各元点x沿x轴负向平移（各元点只是改变位置）变为点y=x+δx=0.5x得元为点y的B=[0，1]⊂相应数轴即A 收缩变短为B，这是不改变点集的组成成员但改变组织结构的变换。点还是这些点∈A，但其按减小两异成员间距的排列、聚集方式重新排列、聚集而成的点集是B。
三、初等几何最最起码常识推翻初等几何2300年“最起码常识”：等长直线段必≌——百年病态集论的症结——让3000年都无人能识的直线段一下子浮出水面
设集A=｛x｝表A各元均由x代表，变量x的变域是A。同一字母x可代表1也可代表2等等，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集；设各函数的定义域均可由D代表。
有人体穴位图A和B，A（B）中各穴位p（p′）到太阳穴p0(p0′)的距离是变数ρ（ρ′）≥0，若B≌A则显然ρ′与ρ必是同一变数，p0与p0′互为合同对应穴。
h定理1：若点集A（至少有两元）各元点x保距变为点x+δx=y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x0的距离ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元点y（x）到元点y0（x0）（点y0与点x0互为合同对应点）的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。同理A与B≌A可是二、三维空间点集，…。
证：由A≌B的定义ρ′=ρ。同理…。证毕。
x轴各点x沿x轴方向保距平移变为点y=x+δx=x+非0常数c生成元为点y的y=x+c轴即x轴沿本身平移变为y=x+c轴。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意后文表明[0，1]与[0，1]⊂R或R′等，是不同区间；...。应注意：0≤x≤1和0≤y=x+1≤1（-1≤x≤0）中括号外的x和y=x+1的变域均为区间A=[0，1]，y=x+1中x的变域W=[-1，0]可平移距离1变为A。A=[0，1]各元是x=h，A各元也可是y=x+1=h，当y中x=y-1的变域是W时。所以元为x的W变成元为y=x+1的A这一变换是W平移距离1的变换，而元为x=h的A变成元为y=x+1=h的A这一变换是恒等变换。所以C=[0，1]⊂x轴各元点x=μ到C的中点x=1/2的距离ρ=|x（=μ）-0.5|，元为点y=x+1的B（=C）=[0，1]⊂y=x+1轴各点y=x+1=μ到B的中点y=1/2的距离ρ′=|y（=x+1）-0.5|( x+1=μ)=ρ；同样...。要注意闭直线段E≌E′且E∥E′∥x轴中E的左端点与E′的左端点不一定是合同对应点；...。将非合同对应点误为合同对应点就会得错误的结果。详论见[4]。
x轴即R轴各点x沿x轴方向不保距平移变为点y=x+δx=0.5x生成元为点y的y=0.5x轴即x轴压缩变换为y=0.5x轴叠压在x轴上。自有函数概念几百年来数学一直断定:定义域=[-2，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]⊂R。这一中学几百年函数“常识”其实是违反初等几何最最起码常识e的肉眼直观错觉。直线段L=[-2，2] ⊂x轴有子部D=[-1，1]⊂x轴，L各元点x沿x轴平移变为点y=x+δx=0.5x得元为点y的线段D′（～L）=[-1，1]⊂y=0.5x轴。2300多年初等几何“最起码常识”：～L的D′=D≌D其实是肉眼直观错觉。理由：①保距变换将直线段A的中心点变为新线段B≌A的中心点即若A≌B则A的中点与B的中点必互为合同对应点。假设D′≌D成立则据h定理1相应的距离ρ=ρ′；然而D各点x到D的中点x=0的距离ρ=|x|，D′各点y=0.5x到D′的中点y=0的距离ρ′=|0.5x|≠ρ；故假设不成立即D不≌D′。据起码常识eD′≠D。显然若y=0.5x轴=x轴则D′必=D。上述h几何重要原理表明x轴与y=0.5x轴表面看来重合，但其实两者有不同的组织结构；因x轴是均匀压缩变换为y=0.5x轴故D′⊂0.5x轴与D⊂x轴有不同的组织结构从而等长却不≌。②据下述h定理2D′～L与D⊂L等长却不等势从而不≌。③后文证明了D有最小正数点x=⊕，而D′有最小正数点y=0.5x=0.5⊕。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样线段L被压收缩成与D⊂L等长的D′～L不能成为L的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误，其使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态“定理”：L～D⊂L。
x轴伸缩变换为y=kx轴（正常数k≠1），有等长线段：A=[a，b]⊂x轴和B=[a，b]⊂y=kx轴（[a/k，b/k]⊂x轴各点x不保距平移变为点y=x+δx=kx组成元为点y=kx的B⊂y轴），A各点x到A 的中心x=（a+b）/2=v的距离ρ=|x-v|而B各点y=kx到B的中心y=kx=v 的距离ρ′=|kx-v|≠ρ；据h定理1A不≌B。故A与B是3000年都无人能识的貌似重合的伪二重点集、伪≌点集；这说明有无穷多等长却互不≌的直线段。可见初等几何最最起码常识e凸显初等几何“最起码常识”：等长直线段必≌其实是“以井代天”的2300年“井底蛙”误区。这误区使中学将伪二重点集、伪≌点集误为二重点集、≌点集从而有一系列搞错函数的值域的几百年重大错误——百年病态集论的症结。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
四、不知有假N使初等数学有几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——同是无穷数列，此列的项可多于彼列的项
设F=｛（x，y=x）｝表F 是元为有序数偶的数偶集,但F同时也可是以数为元的数集F=｛（x，x）｝=｛x｝，由一对对数组成的集可称为数偶集；G=｛（x，y），（，y）｝表G是由有序数偶和 “单身”数y组成的混合集（可规定单身y只能与F内数偶中左边的数x配对）。其余类推。
数列N=｛0，1，2，...，n，...｝的偶数n=2p=0，2，4，...和奇数n=2p+1一样多使N可是数偶序列N=｛（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…｝，N各数n变为其后继n+1后再增添新首项0得有“单身”数0的混合数列（集）N′=｛0，（1，2）（3，4）（5，6）…｝；“拆东补西”地让一奇数x与偶数0配对，x的原“配偶”就成一新单身偶数。故N′各偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身偶数从而使N′不能成为数偶序列。为什么？因N′中偶数比奇数多(可见N′一切偶数组成的无穷数列的项多于一切奇数组成的数列的项)从而使N′各数不可两两配对；而N各数可两两配对——表明N′≠N，N′是似是而非的假N！“拆东补西”不能使N′各数两两配对这一配对常识表明N′各奇数x改与其左邻的偶数x-1配对使各奇数都有新配偶后必有一偶数x-1∈N′成新单身（N′各数不可与N′外数配对），所以新单身x-1的后继x（奇数）ÏN′。故“只要改配对法则就能使N′内奇数与偶数一一配对”是被拆东补西术迷惑而将N′外数误为N′内数。详论见[2]。自有无穷数列（集）概念几百年来数学一直不知有偶数与奇数不一样多的假N使初等数学一直误以为N′=N，从而使级数论有几百年重大错误：将两异级数误为同一级数。
各点按规定进入各指定位置才能形成一点集。R轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x），挖去R轴一个点x就留下一个“洞”：单身的位置x，故R轴是元为对子的对子集。挖去R轴一切点就留下“空洞”集K～R。上述配对常识表明挖去R轴一个点x，剩下的点x就不可填满K～R的洞（一点只填一洞）, 挖去R轴一切非自然数点x，剩下的自然数点x=n不可填满R轴的位置洞∈K。这说明R失元变为R的真子集的元必少于R的元。
五、“配对”常识推翻“人类最伟大的创造”让5000年都无人能识的自然数一下子暴露出来推翻百年自然数公理
h定理2：任一无穷集W的真子集w⊂W的元必少于W的元使w不可～W，故若A～W 则A 的元必多于w⊂W 的元使A≠w⊂W。
证：各x变为y=x是恒等变换。数集W各元x变成数偶（x，y=x）组成数偶集F={（x，y=x）}，设x是数轴上的点的坐标，y=x是点x所在位置“洞”的坐标，从而F的元是（点x，位置洞y=x），点x的全体是点集W，...。挖去F部分点，剩下的点不可填满F的洞。挖去F部分（点）x=τ就使F变为有单身的混合集G=｛（x，y=x），（，y=x=τ）｝，拆东补西地让一非单身x与一单身y=x=τ配对，x的原配偶y=x就成新单身。故无论怎样改配对法则重新配对都不能改变G中x方总可无单身而y方总有单身这一格局（这里的关键是不可让F外数“混进来”参与新配对），原因显然是G中的“洞”y比点x多。这说明W（=W∪W={（x，y=x）}={x}）失元变为w⊂W的元必少于W的元。证毕。
若正数x≡k（x/k）=ky则x>0必有对应数x/k=y，凡是<x的正数都可表为y=x/k（k>1），若x≡（kx）/k=y/k 则凡>x的数都可表为y=kx>x>0。
A一元x按变换法则f变为y=f（x）而另一元x+△x按≠f的变换法则g变为y=g（x+△x），这是不同的元按不同的变换法则进行变换的变换。比x>0小的正数都可表为y=x/k（常数k>1）。｛x｝=｛0.1，1，7｝中的x=7变小为f（x）=x/k=x/7=1（x=7，k=7），x=1变小为g（x）=x/2=1/2=（x=1，k=2），x=0.1变小为h（x）=x/10=0.1/10=0.12（x=0.1=1/10，k=10）；这是各元x>0保序变小为原来的1/k的变换即变为y=x/k，但各x不是按同一变换法则进行变换。注：各点（x，y=x/k）（k=7，2，10）分别是各直线y=x/k的元点。
h定理3：有最小（大）元的无穷数集A各元x若均有对应数y（x）>（<）x则必至少有一对应数y在A外。
证1：A各元x保序变大（小）为y=y（x）(不一定按同一变换法则进行变换)>（<）x组成B=｛y｝～A（保序变换是一一对应变换），因A有最小（大）元故B≠A；据h定理2B～A不是A的任何真子集——说明≠A的B各元y不可均∈A而必至少有一y在A外。
证2：不等式起码常识：x<y（x）中：变域为A 的x可遍取A一切数x使y（x）必可遍比A一切数x都大而取A外数；“对A国一切人x都有人y比x高”就是说有人y高于A国一切人x，“对A一切数x都有变数y（x）>x（注：“常数”是其变域内只有一个数的变数）”就是说y可>A一切数x而取A外数。同样x>y（x）中：......。此起码常识是否成立的问题是“光身皇帝”是否光身的问题。关键是连文盲也知“一切”的确切含义。
证3：高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。设c是A最小元，区间Q=[c，x]∪[x，y>x]中变域为A的x由小到大遍取A一切数x时Q的子区间[c，x]的长度由=0开始逐渐变长而长到包含A一切元x∈[c，x]，据中学的区间概念在包含A一切元的[c，x]（x的变域是A）之外必还有数y>x大于A一切数x。同样设d是A最大元，Q=.......。证毕。
R⊃N各元x均有对应标准数x+1和2x以及xn（自然数n≥2）等等。挖去N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。据h定理3有最小元的N各元n变大为其后继y=n+1形成后继集H={y}～N中必至少有一元y=y0=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N的最大元，因其后继y0在N外。5000年都无人能识此Ω（与1∈N相隔无穷多自然数∈N）使中学一直将N外数误为N内数从而将H～N误为N的真子集N+。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数，其倒数是一直用而不知的无穷小正数＜任何有穷正数ε。发现Ω说明“数列N无末项”这一中学数列、函数“常识”和“没标准无穷大自然数”这一5千年数学“常识”其实都是重大错误；所以须重新认识级数论。详论见[2][3]。R所有非负元x≥0组成R+，据h定理3有最小元的R+各元x≥0的对应数y=x+1>x中必至少有一y>x在R+外而>R+一切元 x，其倒数是无穷小正数。
数集A由一个个给定（固定）的数组成。“在A内任意取定一个数x”中的x可是A的任何元，因x是在A内任意取的数。对百年极限论最关键要弄清j式：“0＜正无穷小ρ＜“任意取定”的正数ε”中的ε是在哪一范围内任取的数？是在区间（1，∞）内任取？还是在（0，1）内任取？...？至少能代表两个数的字母x是变数，因ε可=0.1也可=0.2等等故ε是变数。凡变数必有变域，能由j式中的ε代表的数的全体就是ε的变域，可记为∑。所以极限论中的ε是在∑内任意取定的数。若x∈∑则称x是有穷正数。若标准正数x＜∑任何元ε则称x是标准无穷小正数（其倒数是无穷大正数），正如非标准分析将＜R任何正数的正数x称为非标准无穷小正数一样。若y/x≠无穷大（小）数就称y≠与x≠0是同一层次的数，简称同层数，否则，是非同层数。不同层次的数有无穷大的差别。量变引起质变，一说到“无穷”就有质的对立的根本区别了。
要注意变集与固定集的区别。A的元若有增（减）则必使A变为其真扩（子）集。不断增元（项）的数集（列）A是变数集（列），故若A是固定的，则A的元（项）是没有任何增减的。其项不断由n个增加到n+1个的数列是变数列B：由{0}变到{0，1}变到{0，1，2 }变到…，当且仅当其项不再增加而有末项时B才成固定数列N。“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个项的固定数列，“实无穷”观认为可有此类数列，但又断定其没末项；这是不合逻辑的自相矛盾。由小到大取值且变域为无穷集W=[a, b]的x必有最后一次的取值即其取数过程是有完有了的（“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个元的集）。这是“无穷”与“有穷”的对立统一性在数学中的生动体现。同理，人不能遍取N一切数，但人所创立的符合实际的抽象理论中的变数n≥0却能由小到大遍取N一切数，正如人造的机器人能干人所不能干的事一样。关键：对人而言N内数多得取之不尽，但对n≥0而言N内数是可取尽的。所以真正的无穷集N是“有穷”与“无穷”的对立统一体，它的“无穷”是对人而言而非对变域为N的n≥0而言。所以不能认为 “固定的无穷数列N有末项是不合逻辑的自相矛盾”；恰恰相反，“N无最大元”才真正是不合逻辑的自相矛盾。抽象的R轴上有抽象的点x=Ω。
A=[0，b]⊂R轴的点x=0不动，点x=b沿R轴正向移动就使A不断增元变为其真扩集B，当点x=b与点x=0的距离是无穷大时B就变为射线；若点x=b总是移动则射线B就不是固定的点集而是不断增元的变集，当且仅当其不再移动时B才是固定点集。
六、作为“实无穷”点集的直线其实是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）变换前后有不同的长短——直线公理及由其推出的“定理”严重歪曲了事物的本来面目
（0，1]⊂R有“更无理”最小元⊕的理由：
⑴A=（0，1]⊂R有元x>0因不“太小”而有性质a：在0与x>0之间至少有一数∈A即在各＜x的正数y=x/k（常数k>1）中至少有一y∈A。A一切具有性质a的元x>x/k∈A组成B⊆A，问题是A是否存在没性质a的“太小”正数xÏB？因B各元x>x/k∈A故B各元x可变小为y=x/k∈A。有最大元x=1的B各元x变小为y=x/k∈A（不一定按同一变换法则变小即分母k可随分子x的取值的不同而不同）组成C={y}⊆A,据h定理3C各元y∈A并非均∈B而必至少有一y=y0∈A在B外,这B外y0∈A是A中没性质a的“太小”正数——小到使各比y0小的正数y0/k中只有0个数∈A从而使y0∈A是A最小元y0=⊕。
⑵自由落体的高x≥0是由大到小取值的变数。⊥地平线的R轴即x轴的原点x=0在地平线上，由大到小取值的动点x≥0到点x=0的距离是x≥0，当且仅当距离=0时动点x与点x=0重合。稍有一点头脑的人都知道由大到小取值的“距离函数x≥0不取尽变域U的一切正数就绝不能取0即必取到无正数可取了才取0;然而有数学定理断定此x由1→0时总与0至少相隔一正数如x/2∈U而始终不能取到无正数可取——从而更不能取0——尖锐矛盾——由数学定理竟推出数学的动点、物理的质点根本不能动!运动存在的事实决定了R轴必有最小正数点。另一方面因轴是连续的，故沿轴动的点x从原点O→x=1处不经过与O只相隔1个、2个、…有穷多个点∈轴的阶段就绝不可进入与O相隔无穷多个点∈轴的阶段，但有数学定理断定动点能到达的各正数点位置x都与O相隔无穷多个正数点∈轴——显然抹杀了x有序渐变的连续变化性（1999.11《扬子晚报》等报曾报道称黄乘规“成功论证了数学史上关于不可分割的连续体的猜想”）[5]。”。而且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。
R有“更无理”最大元R的理由：
R一切≥1的数x≥1组成Z⊂R。将>x的数称为x后面的数。Z有元x≥1因不“太大”而有性质b：在x后面的数y=kx（k>1）中至少有一数y∈Z。Z一切具有性质b的元x<kx∈Z组成B⊆Z，B各元x可变大为y=kx∈Z。有最小元的B各元x∈Z变大为y=kx∈Z（不一定按同一变换法则变大即...）组成C={y}⊆Z,据h定理3 C必至少有一元y=y0∈Z在B外而>B 一切元x；这B外y0∈Z是Z中没性质b 的“太大”正数——大到使y0后面的数ky0中只有0个数∈Z从而使y0∈Z是Z⊂R最大元y0=R。
R轴即x轴沿本身平移变为y=x+δx=x+c（常数c≠0）轴，x轴压缩变换为y=0.5x轴（不≌x轴）叠压在x轴上。初等几何2300年“最起码常识”：至少有两个公共点的直线必重合。据此，初中几何有直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。发现R说明作为“实无穷”点集的直线A其实是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）变换前后有不同的长短（伸缩系数≠0），且A沿本身平移后就≠A了。所以“据直线公（定）理x轴=x+c轴=0.5x轴”其实是中学重大错误。伸缩变换是改变点集的组织结构的变换，故伸缩前后的直线若组成成员相同则组织结构不同，两者是“同分异构”体。所以y=0.5x轴不≌x轴的原因是两轴有不同的组织结构。
研究图形A的投影T非常重要，T随A的连续运动而连续运动。电灯在断电之前一直都那么亮，而一直通着电的手电筒的光亮度d是随着电池的电量的减少而逐渐变小直至变到d=0；后者是有序渐变。复平面z=x+iy的x轴即直线z=x绕点z=0逆时针旋转θ角（00≤θ≤900）变为直线B：直线z′=x（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=u+iv（相应有u=xcosθ轴），θ=00时直线B=x轴而在x轴的正投影T=x轴，转角θ由00→900使B由∥x轴变到⊥x轴，B在x轴的正投影T随之就从T=x轴开始连续不断地收缩变换成T=u（=xcosθ）轴（0≤收缩系数cosθ≤1），最后收缩成“一点” T=u=xcos900=0。T由=x轴（长度是无穷大）开始收缩变短最后缩短到只有一个点的长度，这种有序连续变化的变化规律必是逐渐变短：T先与x轴有较小的长度差别（θ≈00时）然后再有较大的长度差别，再后有无穷大的长度差别，最后缩短成“一个点”。这就使x轴必有缩短为原长度的1/n（n≥2）的阶段。所以x轴不经过缩短至=区间[-1,1]⊂u轴等的阶段就绝不可进入最后缩短至“变为一个点”这一阶段，正如可=0的有序连续变化的变数x由正数变为负数时必先=0然后才能=负数一样，正如一人不经过儿童期就绝不可进入少年期一样。可见连续运动、变化的有序渐变的性质从一侧面间接表明x轴收缩变换为u=xcosθ轴（正常数cosθ<1）必短于x轴。直线公理断定直线T=x轴在缩短成“一点”之前的各次收缩变换后总=x轴（注：运动的直线可暂时固定一下），无异于断定T的收缩变化不是有序连续变化。这公理严重歪曲了事物的本来面目，正如“一个什么都不懂的婴儿在变为科学家之前的几十年间一直≡婴儿，只要其达到一定年龄的某一天就突变成科学家。”严重歪曲了事物的本来面目一样。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符。由错误的公理推出的“定理”必是伪定理。
文[4]还指出数学一直存在：连续运动悖论；不推翻百年集论纠正中学数学一系列重大错误就不能消除此悖论。
显然应有h几何起码常识：A各点按同一变换法则保距运动后回到原位置才能使运动前后的点集重合。
复平面z中圆心为点z=z0=0的单位圆盘A⊂z面：|z|≤1若单独平移变为圆心为点z1=3的单位圆盘B⊂z面，则z面就出现个单位圆盘“大洞”“伤口”，正如一人像的头部被单独移去就使该像缺了头部一样。z面沿x轴正向平移距离ρ=3变为平面w=z+3就使圆心为点z0=0的A平移变为圆心为点w=w0= z0+3=3的单位圆盘A′⊂w面。据h最几何起码常识若w面与z面重合则其各自的子部：A′与A必重合，故由其不重合知w面≠z面！且平移的距离ρ≠0也说明z面已发生了位移而非“原地不动”。道理非常简单：说始终没有任何“伤口”的z面与w=z+3面重合就是说z面没有动，那作为z面的一部分的A当然也就必没动，否则A就不是z面的一部分了，故由A发生了位移推知w面与z面不重合，否则就违反逻辑学起码常识了。关键：若z面不动则A⊂z面也必不动，若A单独平移则z面必出现“伤口”。因平面由相互平行的直线组成，故据直线公理可推出“定理”c：w面=z面。这就是说z面各点z平移变为点w=z+3还回到原来的位置即说平移的距离=0；这显然是与事实不符的非常低级错误。上述分析表明直线公理和“定理”c严重歪曲了事物的本来面目，正如“一个完整的人在广州没有动的同时又发现他的头部在北京”是歪理邪说一样。由错误的公理推出的“定理”必是伪定理。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符。产生出“高深莫测”的“w面=z面”理论的症结是数学一直不知R有最小、大正数元从而误以为R是无界集，继而将已发生了位移的“无界”图形误为还在原位。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数R及R后面的数，使数学出现违反几何、逻辑学起码常识的尖锐自相矛盾。
显然R无穷大倍于1，可记为R>>>1。z面可收缩成w=z/k（正实固定数k>>>1）面叠压在z面上。上述单位圆盘A⊂z面若单独收缩成圆心为点w0=z0/k=0（z0=0），半径为1/k≈0的圆盘K⊂w面（即A收缩成≈它的圆心点）则z面就出现个≈单位圆盘的“伤口”。z面收缩成w=z/k面使圆盘A：|z|≤1随之收缩成圆盘K⊂w面：|w=z/k|≤1/k≈0。据直线公理说w面=z面就是说始终没任何“伤口”的z面没任何变动。但事实上作为z面的一部分的A收缩成K表明w面与z面不重合，否则就违反逻辑学起码常识了。不符实际的思想必自相矛盾不合逻辑。症结是数学一直不知R有最小、大正数元从而不知过点z=0的直线收缩前后不相等。否定客观存在的正实数及其倒数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。
七、不识“更无理”数⊕就不能从数、数量关系的高度上来阐明近似计算常识——已知标准实数全体R远不够用
高等数学是研究变量的,需研究两非0变数例△y与dy能否近似相等?正变数β=α+ (β-α)中的差β-α=δα若=0则β=α，若δα≈0（与α≠0相比）则β≈α+0；说δα能不受任何限制地距0任意近就是说α与β能趋于重合相等没差别（从而有β≈α+0）使α/β能→1。显然说δα的变域是区间（0，1]等，就是说δα必能距0任意近，因其能取一切≤1的正数等。β与α总不近似相等的原因是它们的差δα总距0远而不近从而不可视其为0而忽略。
直线段L：α β（α与β是点的坐标）两端点α与β=α+δα总不能近似处于同一位置的唯一原因是长为|δα|的L总太长——长到使α≈α+δα总不成立。显然存在动点α的某充分小邻域U使U内各≠α的动点α+δα均≈α。显然若可→0的δα遍取R一切非0数都远不可有β≈α则必说明R各非0数相比下都距0极远——间接说明R远不可包含一切非0数。肉眼看两星星近似处于同一位置，但用天文望远镜看两星相距甚远。在光年尺度下北京与广州近似处于同一位置，但在公里尺度下两地相距极远；只认识光年尺度是远远不能满足实际的需要的。同样在某“更无理”尺度下有两动点α与β=α+δα的非0距离|δα|（→0）虽＜“任意取定”的正数ε，但“β≈α”却远不成立。对表示距离的正数的大小不能只有一知半解的肤浅认识。
R轴的射线R+各元点x≥0不保距平移变为点y=x+δx=x2≥0组成元为点y的｛x2｝=Y（不≌R+）叠压在R+上，说R+=Y就是说Y是射线R+。“区间A=[0，1]⊂R+各元x不保距变为y=x+δx=x2生成元为y的B(不≌A）=[0，1](⊂Y) =A”这一中学几百年函数“常识”其实是违反初等几何最最起码常识e的肉眼直观错觉。理由：⑴据几何最最起码常识e因B不≌A故B≠A。⑵A=[0，1]⊂R+有最小正数元x=⊕（是＜任何ε的标准无穷小正数）而无穷大倍于B的最小正数元y=x2=⊕2（1/⊕是无穷大数）——直接说明A各正数元x相比下均是极大正数从而必有正数≪A一切正数。⑶高精确度的近似计算中凡有正实变量不可忽略必表明其相比下总距0极远使其变域Π各数相比下全都是极大正数从而必有（未知）正数<Π所有数，因有大必有小。y=x2+x中变域为D=（0，0.0001]⊂R的一次项x（正无穷小）→0总不可忽略说明D各数x≫x2>0相比下全都是不可忽略的极大正数——间接表明必有正数<D所有数。此x→0的一面掩盖了其有相比下总距0极远的无限变大的另一面：x/x2=1/x→∞显示变域为D的分子x→0与分母x2相比越变越大，无穷变大；不识“分子也是无限可分的”就不知分子也有“无穷大”的另一面，不识“更无理”数使人们不能察觉x→0有总极大不小的另一面而误以为其能任意变小。鲜明对比的是差y-x=x2→0就可距0充分近——近到可视其为0使有y=x2+x≈x的程度，从而使tanθ=y/x≈x/x=1,θ≈45°。可见“D=（0，0.0001]，R包含一切标准实数”这一中学“常识”与近似计算常识激烈“打架”。可见不识⊕就不能从数、数量关系的高度上来认识与阐明近似计算常识从而对近似计算只知结论不懂原理。坚持认为“y-x2=x→0必能小到可视其为0而忽略使有y≈x2+0的程度”是非常低级错误。小学生都知大小悬殊的两正数：y=x2+x（正数x≪1）与x2是远没近似相等的关系的。误以为y≈x2就会误以为tanθ=y/x≈x2/x=x≪1从而误以为θ≈0°。
x>0与y>0可是一“微分直角△”的直角边的长，小学生都知若x千万倍于y则x与y远没近似关系。近似计算常识：约万倍于y=α/104的x=α+α/104=α（1+1/104）≈α>0与y总远无近似相等关系的原因是差x-y=α>0（变域是R+-｛0｝）总距0极远——说明R+各正数α≫α/104>0相比下全都是极大正数——间接说明R+远不可包含一切标准正数；而⊕≫⊕/104>0就直接说明此事实凸显中学“R+含一切标准正数”是重大错误。
八、不识⊕使300年微积分一直存在尖锐自相矛盾。
不识⊕与R使中学几百年解析几何一直将无穷多各异直线误为同一线：R轴；继而将无穷多各异平面误为同一面，再继而将无穷多根本不是R×R面的子集误为其子集。
R各元x变为cx=y（正常数c≠1）生成元为y的集可记为cR=｛cx｝。R轴与cR轴分别有最小正数点⊕及c⊕使R轴≠cR轴。发现⊕与R说明R×R平面是边长为2R的无穷大正方形且说明平面上过原点x=y=0的直线中除了R轴和直线y=±x是平面的子部外，其余直线都平面，而定义域为R且过原点的连续曲线y=y（x）都平面；......。中学认定直线y=0.5x（x的变域是R）是平面的一部分。其实由点（x，y=0.5x）=（⊕，0.5⊕ÏR）ÏR×R面就知直线y=0.5xR×R。注：点（⊕，0.5⊕∈0.5R）∈R×0.5R面。用钢笔在人体上画出的图形不可是人体皮肤的一部分;同样，附着在R×R面上的直线y=0.5x不是该面的一部分,附着在x轴上的上述线段D′⊂0.5x轴不是x轴的子部D；...。定义域为R的直线y=kx（正数k≠1）中y的值域是kR≠R说明该线R×R面。
不知光滑曲面的充分小子部≈相应切平面块就没有曲面积分论。曲面z=y+104x2-x2（z的麦克劳林级数是z本身）的切平面是z=y+0x=y，切点是O（0，0，0）。微积分有“△z≈dz”论：定义域是R×R面的点函数：曲面z=f（x，y）≈y（切平面z=y），在点（x，y）=（0，0）的某充分小去心邻域U⊂R×R内，即若（x，y）∈U则z=f（x，y）≈y。当点（x，y）中的y=x2>0时z=y+104x2-x2=104x2≫x2=y>0即z=104x2>0万倍于y=x2使z≈y=x2>0远不成立。据“z≈y”论抛物线q：y=x2>0的各元点（x，y=x2）都在U外，然而微积分又断定q是R×R面的子部从而U必含q的点。这就构成300年微积分一直不能化解的“△f≈df反例”尖锐自相矛盾。症结是中学几百年重大错误a：断定定义域为R+的y=x2≥0的值域也=R+。其实由点（x，y=x2>0）=（⊕，⊕2ÏR）ÏR×R就知qR×R。若“△f≈df”论不成立则以其为依据推导出来的曲面积分论也不成立。尖锐矛盾是否存在的问题是“光身皇帝”是否光身的问题。“大人”们坚持说104x2≈x2>0成立无异于说104x2/x2≈1；小学生都不会犯的错误啊！
需研究函数在一点邻近的性态。△z=dz/1!+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂的M=△z-dz>0时z在切面的上方，<0时z在切面下方。微积分断定非0函数M（△x，△y）=d2z/2！+d3z/3！+…能高精度地与首项近似相等从而与首项同号，在点△x=△y=0的某充分小的（去使d2z=0的点）邻域I内。所以有：z(x ,y)=y2-9x4（点（x,y）的变域是R×R，z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y=0，切点是O（0，0，0））与首项y2>0同号使zy2=（y2-9x4）y2>0………A,在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。将y2=x4>0代入A式则该式不成立说明曲线y2=x4即y=x2>0的元点都ÏI！误以为其有元点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z中以元点O为心的充分小子部中各除y=0的元点都在切平面z（x，y）=0的上方。然而微积分又断定I必包含曲线y=x2>0的元点从而构成300年尖锐自相矛盾。症结是上述中学重大错误a。
定义域是R的y=x2，△y=dy/1!+d2y/2!=2xdx+dx2中的dx=△x≠0是独立变数，故△y是关于x和dx的二元函数。微积分断定当dx≠0与0充分近时必有△y≈dy。因≠0的dx可=2（104x）→0使dy=2xdx=dx2/104故存在“△y≈dy反例”尖锐自相矛盾，但限于篇幅本文无法详谈。
自相矛盾的理论是有头脑人无法接受的理论，从而极难学难教。
九、2300年“点无大小”公理使几何学一直不能自圆其说
发现⊕说明R有相距最近而紧挨在一起的元：x 和x±⊕，两者之间的距离是⊕。所以R各元x均是⊕的整数倍即x=h⊕（h是整数）。所以中学的“开区间（1，2）⊂R”其实是闭区间[1+⊕，2-⊕]⊂R；...。可画在黑板上的“动点”是数学的研究对象，凡是可视者必有大小（可小到须放大许多倍才能被眼睛看见）。所以数学图形应是肉眼直接可见或可用放大镜（可是思维放大镜）放大到肉眼可见的“东西”。“没大小从而没形象的点能聚集成（运动生成）有形象的直线”显然是不合逻辑的自相矛盾概念。数形结合须跃出根本误区。
挖去x轴全部点，x轴就变成位置洞集。“长度都=0的位置洞能形成长≠0的洞集”是不合逻辑的。暂时规定x轴各元点不可重叠(合)在同一位置上等使沿x轴移动的相应元点只能移动到空位内；x轴没空洞使各相应元点能沿轴移动的最大距离是0，正如挤满人的电梯内的人都没运动的空间一样。挖去x轴原点x=0就空出一位置洞x=0（可供点运动的空间），这有洞x轴的线段D=（0，1]⊂有洞x轴各点x沿轴负向保距平移一个点的长度距离⊕到空位内变为点x′=x-⊕形成元为点x′的线段[0，1-⊕]⊂相应轴从而又生一新空位x=1（点x=1移到空位x=1-⊕内就出现新的空位x=1），D所平移的距离⊕是容纳原点的位置洞的长度。“⊕=0”就是说D能沿轴移动的最大距离是0即1-⊕=1。这与事实不符——产生科学悖论的原因。D若没平移就不能使原有的空位x=0内又有点了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不识未知正数⊕就否认D可平移的事实。故“点无大小”是不合逻辑的自相矛盾概念(这是数形结合出现“直线段全部点可与部分点一样多”“分球怪论”等形形色色怪论的根源)。故须提出符合客观实际的“点”概念。“点”的问题是点集论与几何学的最根本问题。
以上说明R轴可由长度均为⊕的点及位置洞组成，两紧挨着的元点（位置洞）之间的距离是⊕。两紧挨着的元点中的一点不可动，另一点可移动，因被压缩使这两点的距离ρ由=⊕变小为=⊕/2等，则可移动的点的部分“身子”被压进另一点的位置Ψ内，若整个身子都被压进Ψ内则ρ由=⊕变为=0。因“在Ψ内（外）的元点”是指整个身子都在Ψ内（外）的点，故存在既不在Ψ内又不在Ψ外而是介于这两者之间的点。显然x轴的元点x与一位置洞的距离≥⊕才能在该洞之外。若一个点的整个身子不能都在平面的位置“洞”内则其不能是该面的元点；与R轴元点x重合的质点x沿轴平移变为点y=x+δx=x+⊕2不可与R轴任何元点重合，因其绝大部分身子还在位置x内。不明此真相就会将附着在R×R面（或R轴）上但又不是其子部的点集误为其子部。数形结合须跃出根本误区。
十、结束语
错误的基础教育会使受教育者打歪成才的基础。显然真正建立在病态集论之上的理论必是错上加错的更重大错误。“人类最伟大的创造”：百多年集论百多年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失。所以不能不拨乱反正地跃出“井底蛙”误区创立“井”外数学，但限于篇幅本文无法详谈。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[6]”。
参考文献
[1]M•克莱因著、李宏魁译。数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:194-195。
[2]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。
[3]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[4]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。
[5]黄小宁。“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误——证明实数轴有最小、大正数点推翻百年集论[J]，科技信息，2011（17）：38。
[6]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社，1996：188。