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CF 1039D You Are Given a Tree && CF1059E Split the Tree 的贪心解法
1039D 题意：
给你一棵树，要求对给定链长于 k = 1, 2, 3, ..., n，求出最大的链剖分。
1059E 题意：
给你一棵带权树，要求对于一组给定的 L, W 求出最小完全竖链剖分满足每条链点数不超过 L，权值和不超过 W。
显然两题是有共同点的，就是让我们求满足一定条件的树的最值链剖分。
比较暴力的可以尝试用 DP 计数，但是我不想深入 DP，因为方程比较复杂，思考起来不太容易。
很巧的是，这两题可以用相似的贪心思想来做。
在思考具体细节之前，需要明确贪心的主要思想：在从下往上回溯的过程中，总是在合适条件下贪心地成链。
1039D
如果对于给定的 k 值可以快速求解，就可以用分块的思想处理 k 不同时的情况。
怎样求解给定的 k 呢？
还是贪心的做法。
在 dfs 回溯过程中，一旦当前点可以成链，就直接钦定下来 :)
具体操作过程中，需要对每个点记录最长与次长子链，这样一旦两者和达到 k，就可以成链了。
证明略。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
const int BLOCK = 100;
int n;
int f[N][2];
vector<int> node;
vector<int> g[N];
int fa[N];
void dfs(int u, int f = 1) {
for (auto v: g[u]) {
if (v != f) {
dfs(v, u);
}
}
node.push_back(u);
fa[u] = f;
}
int solve(int k) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i][0] = f[i][1] = 0;
}
int ret = 0;
for (int u: node) {
if (f[u][0] + f[u][1] + 1 >= k) {
ret++;
} else {
if (f[fa[u]][0] < f[u][0] + 1) {
f[fa[u]][1] = f[fa[u]][0];
f[fa[u]][0] = f[u][0] + 1;
} else {
f[fa[u]][1] = max(f[fa[u]][1], f[u][0] + 1);
}
}
}
return ret;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
scanf("%d %d", &u, &v);
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs(1);
int x = N, k = 1;
while (x > BLOCK) {
x = solve(k++);
printf("%d\n", x);
}
for (int i = BLOCK; i >= 0; i--) {
if (solve(k) != i || k > n) {
continue;
}
int l = k, r = n + 1;
while (r - l > 1) {
int mid = (l + r) / 2;
if (solve(mid) == i) {
l = mid;
} else {
r = mid;
}
}
while (k <= l) {
printf("%d\n", i);
k++;
}
}
return 0;
}1059E
与上题不同的是，这题的链要求是竖直的，考虑从链底做贪心。
对于每个点，关注每条从子节点过来的链，并且贪心的选择将当前点并入终点最高的链上。
如果没有这样的链，就直接根据题目条件选择最高的链。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
int up[N];
int dep[N], path[N];
int fa[N][21];
int n, L;
int w[N];
long long S;
long long sumw[N];
vector<int> g[N];
void prepare(int u, int f = 0) {
dep[u] = dep[f] + 1;
sumw[u] = sumw[f] + w[u];
up[u] = u;
fa[u][0] = f;
for (int i = 1; i <= 20; i++) {
fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
}
int lim = L-1;
for (int i = 20; i >= 0; i--) {
if (fa[up[u]][i] != 0 && (1 << i) <= lim && sumw[u] - sumw[fa[fa[up[u]][i]][0]] <= S) {
up[u] = fa[up[u]][i];
lim -= (1 << i);
}
}
for (int v: g[u]) {
prepare(v, u);
}
}
int solve(int u) {
int ret = 0, best = -1;
for (int v: g[u]) {
ret += solve(v);
if (path[v] != v) {
if (best == -1 || dep[path[v]] < dep[best]) {
best = path[v];
}
}
}
if (best == -1) {
ret++;
best = up[u];
}
path[u] = best;
return ret;
}
int main() {
scanf("%d %d %lld", &n, &L, &S);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &w[i]);
if (w[i] > S) {
printf("-1\n");
return 0;
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int p;
scanf("%d", &p);
g[p].push_back(i);
}
prepare(1);
printf("%d\n", solve(1));
return 0;
}