【树形DP】【斜率优化】Tommy的结合

在这里插入图片描述

分析：

技巧比较多的一道题。
题目本身思维难度不算太大，主要是套路很多。

首先，有一个很显然的DP
定义 $DP[i][j]$ 表示i和j匹配的情况下的最大贡献。转移时需要枚举下一个匹配点分别在哪，所以总的复杂度为 $O(n^4)$ 。然后就是非常套路地DP优化。

对于这种匹配类问题，可以换一种DP定义方式：
$F(i,j)$ 表示i与j匹配时的最大贡献（即上面的DP）
$G(i',j)$ 表示，A选择的 $i'$ 与下一个B选择的数相匹配的最大贡献（即此时A多选一个数 $i'$ ）

这样定义DP后，可以发现，每次只需要枚举下一个点即可：
$F(i',j')=max\{G(i',j)-(t_j+t_{j+1}+……+t_{j'})^2\}+val(i',j')$
$G(i',j)=max\{F(i,j)-(t_i+t_{i+1}+……+t_{i'})^2\}$
所以现在整个复杂度压到了 $O(n^3)$

然后，观察这个式子，发现可以斜率优化。

然后就是套路地树上斜率优化即可。

简述一下树上斜率优化的过程：
与普通的序列斜率优化不同，不能依次弹出队尾/队首元素，需要二分到合适的斜率位置弹出。同时，由于是树上斜率优化，所以要考虑访问某个子树后，再回来的情况，此时必须排除所有之前子树的节点的影响。这时如果依次弹回来显然是比较劣的。正确的姿势是：
由于每次插入一个元素，有两种情况：
1、删除队尾的一段，再把删完后的队尾+1位置修改成当前点。
2、删除队首的一段。
所以，可以记录加入当前这个点的影响前，其左端点/右端点原始的位置。以及当前点原来的数值。就可以做到O(1)消去一个点在我们维护的凸壳中的影响。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define x first
#define y second
#define MAXN 2700
#define INF (1ll<<60)
using namespace std;
typedef long long ll;
void Read(int &x){
	x=0;
	char c;
	bool flag=0;
	while(c=getchar(),c!=EOF&&(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-') flag=1;
	else x=c-'0';
	while(c=getchar(),c!=EOF&&c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';	
	if(flag) x=-x;
}
int pa[MAXN],pb[MAXN],ta[MAXN],tb[MAXN];
int val[MAXN][MAXN];
int old1[MAXN][MAXN],now;
ll ans=-INF;
double get_k(pair<int,ll> a,pair<int,ll> b){
	return double(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
}
vector<int> a[MAXN],b[MAXN];
struct Bac{
	bool flag;
	int pos;
	double k;
	pair<int,ll> p;
};
struct node{
	pair<int,ll> q[MAXN];
	double k[MAXN];
	Bac bac[MAXN*2];
	int top,l,r;
	void clear(){
		top=r=0;
		l=1;
		k[1]=1.0/0.0;	
	}
	void add(pair<int,ll> x){	
		bac[++top].flag=1;
		bac[top].pos=r;
		if(l>r||k[r]>get_k(q[r],x))
			r++;
		else{
			int l1=l,r1=r,res=l;
			while(l1<=r1){
				int mid=(l1+r1)>>1;
				if(k[mid]>get_k(q[mid],x))
					l1=mid+1;
				else{
					res=mid;
					r1=mid-1;
				}
			}
			r=res;
		}
		bac[top].p=q[r];
		bac[top].k=k[r];
		q[r]=x;
		if(l<r)
			k[r]=get_k(q[r-1],x);	
		else
			k[r]=1.0/0.0;
	}
	ll query(ll k1){
		bac[++top].flag=0;
		bac[top].pos=l;
		int l1=l,r1=r,res=l;
		while(l1<=r1){
			int mid=(l1+r1)>>1;
			if(k[mid]>=k1){
				res=mid;
				l1=mid+1;
			}
			else
				r1=mid-1;	
		}
		l=res;
		return q[l].y-k1*q[l].x;
	}
	void dework(int old){
		while(top>old){
			if(bac[top].flag==1){
				q[r]=bac[top].p;
				k[r]=bac[top].k;
				r=bac[top].pos;
			}
			else
				l=bac[top].pos;
			top--;
		}
	}
}Qf[MAXN],Qg;
ll f[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN];
ll sqr(ll x){
	return x*x;	
}
void dfsB(int x,int fa=1){
	int old=Qg.top;
	int tax=ta[now],tax1=ta[pa[now]];
	int tbx=tb[x],tbx1=tb[pb[x]];
	f[now][x]=Qf[x].query(-2*tax1)-sqr(tax1)+val[now][x];
	ans=max(ans,f[now][x]);
	if(pb[x]!=1)
		g[now][x]=Qg.query(-2*tbx1)-sqr(tbx1);
	Qg.add(make_pair(tbx,f[now][x]-sqr(tbx)));
	if(pb[x]!=1)
		Qf[x].add(make_pair(tax,g[now][x]-sqr(tax)));
	for(int i=0;i<int(b[x].size());i++)
		dfsB(b[x][i],x);
	Qg.dework(old);
}
int n,m;
void dfsA(int x,int fa=1){
	int *old=old1[x];
	Qg.clear();
	now=x;
	for(int i=2;i<=m;i++)	
		old[i]=Qf[i].top;
	for(int i=0;i<int(b[1].size());i++)
		dfsB(b[1][i]);
	for(int i=0;i<int(a[x].size());i++)
		dfsA(a[x][i],x);
	for(int i=2;i<=m;i++)
		Qf[i].dework(old[i]);
}
int main(){
	Read(n),Read(m);
	for(int i=2;i<=n;i++) Read(ta[i]);
	for(int i=2;i<=m;i++) Read(tb[i]);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		Read(pa[i]);
		a[pa[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=2;i<=m;i++){
		Read(pb[i]);
		b[pb[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) ta[i]+=ta[pa[i]];
	for(int i=2;i<=m;i++) tb[i]+=tb[pb[i]];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=2;j<=m;j++)
			Read(val[i][j]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		Qf[i].clear();
		Qf[i].add(make_pair(0,-sqr(tb[pb[i]])));
	}
	for(int i=0;i<int(a[1].size());i++)
		dfsA(a[1][i]);
	PF("%lld\n",ans);
}

【树形DP】【斜率优化】Tommy的结合

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