树状数组的时间复杂度证明

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build

根据建立的方法可以容易的写出递推式：

$$T(n) = T(n-1) + height(n)$$
height为该节点的高度，即 $log_2(lowbit(n))$;
可以对每层分开记贡献即可以得到：
$$T(n) = \sum_i^{log_2n}\frac{n}{2^i}$$
所以:
$$1 <= \frac{T(n)}{n} <= 2$$
恒成立
所以树状数组建树时间复杂度为O(n)

query/modify

不难想到对于任意数字，每一二进制位出现1的概率为$\frac{1}{2}$,所以对于1-n的数字，期望出现$\frac{1}{2}n*log_2n$个1
所以树状数组的查询/修改时间复杂度为$O(n*lnn)$