时间序列分析
给定一个已被观测了的时间序列，预测该序列的的未来值。
重点介绍AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型
1、时间序列的预处理
拿到一个观察值序列后，首先要对它的纯随机性和平稳性进行检验，称之为预处理。在此区别纯随机序列、平稳非白噪声序列、非平稳序列。
纯随机序列(白噪声序列)，序列的各项之间没有任何相关关系，序列有着完全无序的随机波动，可以终止对该序列的分析。白噪声序列是没有信息可提取的平稳序列。
平稳非白噪声序列，他的均值和方差是常数，现在普遍采用ARMA模型进行处理，提取该序列的有用信息
非平稳序列，由于均值和方差不稳定，处理方法一般将其转换成平稳序列，以平稳序列的分析方法进行研究。如果一个时间序列经差分运算后具有平稳性，则该序列为差分平稳序列，可用ARIMA模型分析
1) 平稳性检验：
贴了一部分定义，只用明白什么是自相关系数（表示数据和数据间的关系），什么样是平稳性（信号的均值或说期望是常数）。
a)平稳时间序列的定义
b) 平稳性的检验
两种检验方法。一种是根据时序图和自相关图的特征作出判断的图检验，操作简单、应用广泛，但带有主观性；另一种是构造检验统计量进行检验，目前常用的方法是单位根检验
I 时序图检验。根据平稳时间序列的均值和方差都为常数的性质，平稳序列的时序图显示该序列值式中在一个常数附近波动，并且波动的范围有界。倘若有明显的趋势性或周期性，那他通常不是平稳序列。
II 自相关图检验。平稳序列具有短期相关，说明对平稳序列而言通常近期的序列值对
现有值影响较大，间隔越远的过去值对现有值影响较小。随着延迟期数k的增加，平稳序列的自相关系数ρk(延迟k期)会比较快的衰减趋向于0，在0处波动，而非平稳序列则衰减速度较慢，这就是利用自相关图进行平稳性检验的标准。
III 单位根检验。单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，如果存在单位根就是非平稳时间序列了。涉及到“单位根检验p值”。
2) 纯随机性检验：白噪声检测，构造验证统计量来检验序列的纯随机性，常用的验证统计量有Q统计量、LB统计量，一般很少出现纯随机状态（即序列值之间没有任何关系）。涉及统计量 “白噪声检验p值”
2、平稳时间序列分析
对于拟合平稳序列最常用的模型就是ARMA模型，又可以AR模型、MA模型和ARMA三大类。
1) AR模型
在t时刻的值由前p期
a.均值——求期望
已知
b.方差——有界等于常数
c.自相关系数(ACF)
平稳AR(p)模型的自相关系数呈指数的速度衰减，始终有非零取值，不会再k大于某个常数之后就恒等于0，具有拖尾性。
d.偏自相关系数(PACF)
单纯地表明测度对的影响，即平稳AR(p)模型的偏自相关系数具有p阶截尾性。
2) MA模型
在t时刻的随机变量
3) ARMA模型
自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)
即在t时刻的随机变量的取值是由前p期
4) 平稳时间序列建模
某个时间序列经过预处理，被判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型进行建模。计算出平稳非白噪声序列的自相关系数和偏自相关系数，再由AR(p)模型、MA(p)、ARMA(p)的自相关系数和偏自相关系数的性质，选择合适的模型。
3. 非平稳时间序列分析
绝大多数序列都是非平稳序列，更多采用随机时序分析，具体建立的模型由ARIMA模型、残差自回归模型、季节模型等。重点采用ARIMA模型对非平稳时间序列进行分析建模。
1） 差分运算
p阶差分：相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分。
k步差分：相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分
2） ARIMA模型
本质是差分运算和ARMA模型结合。
根据这个步骤可总结如下：
I 平稳性检测。画个序列变化图，看他变化是不是稳定，均值要保持稳定；然后再看他的自相关图，如果自相关系数长期不等于0，说明序列具有很强的长期相关性，序列要有很强的短期相关性；但是我推荐使用平方根检验方法，判断（平方根检验统计量对应的）p值是否大于0.05，此处可判断序列是否为非平稳序列。（非平稳序列一定不是白噪声序列）
II 如果不是非平稳序列，那做个一阶差分试试，再根据第I步进行平稳性验证，不满足就再差分一次试试，直至得到稳定序列
III 针对第II步得到的平稳序列，我们做白噪声检验，（白噪声检验统计量对应的）p值远小于0.05，说明得到但是平稳非白噪声序列。
IV 针对平稳非白噪声序列，仿照ARMA模型进行分析。确定p、q
1. 人的主观识别，根据截尾、拖尾确定p、q，我可做不到这点
2. 相对最优模型识别。计算ARMA(p,q)，当p和q均小于等于3的所有组合的BIC信息量，取其中BIC信息量达到最小的模型阶数。BIC矩阵中最小值的索引(a,b),p=a,q=b，如最小BIC值的索引为(0,1)，表示p=0,q=1.即p，q定阶完成。
综上n阶差分后确定的模型为ARIMA(p,n,q)，此处为ARIMA(0,1,1)。
需要指出模型不一定是唯一的，ARIMA(1,1,0)和ARIMA(1,1,1)也可以通过检验。
V 针对建立好的ARIMA模型检验残差(保证为白噪声序列，认为是无偏的)，再估计待求系数参数，最后进行模型预测。
利用模型向前预测的时期越长，预测误差将会越大，这是时间序列分析的典型特点。
4. Python主要时序算法函数
主要调用库Statsmodel，算法主要是ARIMA模型，在使用该模型进行建模时，需要进行一系列判断操作，主要包含平稳性检验、白噪声检测、是否差分、AIC和BIC指标值、模型定阶，最终做预测。相关函数如下
需要指出
summary()和summary2()函数生成已有模型的报告, 使用格式：
arima.summary(),其中arima为已经建立好的ARIMA模型，返回一份格式化的模型 报告，包含模型的系数、表胡宗南误差、p值、AIC和BIC等详细指标。
Adffuller()是对观测值序列进行单位根检验(ADF test)，使用格式：
h=adffuller(Series,maxlag=None,regression=’c’,autolag=’AIC’,store=False,regresults=False)输入参数Series为一维观测值序列、返回值依次为adf、pvalue、usedlag、nobs、criticalvalues、icbest、regresults、resstore。
其他函数的具体用法可百度。