Stiring数学习笔记

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第一类

在此仅讨论无符号第一类Stiring数。

定义

n个有标号的球组成m个圆排列的方案数，即第一类斯特林数，记做 $S_1(n,m)$，亦记做 $\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}$。

递推式

考虑最后一个元素，可以新组成一个圆排列，也可以插入之前 $n-1$个元素的任意一个之后，不难得到其递推式为

$S_1(n,m)=S_1(n-1,m-1)+(n-1)S_1(n-1,m)$

更快速的求法

第n行的生成函数为
$\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=x^{\overline n}$

其中的第m项系数即为 $S_1(n,m)$

为啥呢？我们不妨从递推式进行思考，第n-1行到第n行，如果列数不增加，则要乘以当前的行数，如果列数增加1，就以1倍加入。

那么我们用分治FFT就可以在 $O(n\log^2 n)$的复杂度求出某一行的值了。

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然而其实还有更优秀的方法——倍增。

设 $f(x)=x^{\overline n},g(x)=(x+n)^{\overline n}=f(x+n)$，则有 $f(x)g(x)=x^{\overline{2n}}$

那么考虑倍增，我们希望能通过 $f(x)$，快速的求出 $g(x)$

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不妨设
$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$
则
$g(x)=\sum_{i=0}^n a_i (x+n)^i=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^i\binom i j n^{i-j}x^j$
改变求和顺序
$g(x)=\sum_{i=0}^n\biggl(\sum_{j=i}^n \binom j i n^{j-i} a_j\biggr) x^i$

把组合数一拆，卷积即可

时间复杂度为 $T(n)=2T(\frac n 2)+O(n\log n)=O(n\log n)$，常数略大，但相比分治FFT有较大优势。

第二类

定义

n个有标号球放入m个无标号箱子，且每个箱子不为空的方案数，记做 $S_2(n,m)$，亦记做 $n\brace m$。

公式

同样的，我们思考一下最后一个球新做一个箱子还是放入之前的箱子中去，不难得到：

$S_2(n,m)=S_2(n-1,m-1)+mS_2(n-1,m)$

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我们也可以用容斥来做

至少有 $i$个箱子为空的方案数
$\binom m i (m-i)^n$
容斥一下，再把箱子改为无标号的即得
$S_2(n,m)=\frac 1 {m!}\sum_{i=0}^m (-1)^i \binom m i (m-i)^n$
把组合数拆开同样可以发现就是一个卷积，求一行的复杂度为 $O(n\log n)$

斯特林反演

$g(n)=\sum_{i=0}^n {n \brace i}f(i)$

$f(n)=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\ i\end{bmatrix} g(i)$

可能要用到下面这么两个公式，具体的证明嘛，我也没证出来。。

$\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} {n \brace i}\begin{bmatrix}i\\ m\end{bmatrix}=[m=n]$

$\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\ i\end{bmatrix}{i \brace m}=[m=n]$