前几天氪了本《具体数学》，感觉开了个天坑qwq，现在已经看了一些了，里面一些很有意思的性质，稍微纪录一下吧。
以后争取每天能看一点，当然不一定是按顺序看。
第1章 递归问题
1.1河内塔
$n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次
1.2平面上的直线
$n$条直线最多能将平面划分为$\frac{n(n+1)}{2}$个区域
1.3约瑟夫问题
约瑟夫问题：$n$个人围成一个圈，每隔两个人杀死一个人，问最后谁会活下来
设$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
即$J(n) = n_2 \ left \ rotate$(左循环一位)
第2章 和式
2.1 记号
$\sum_{k = 1} ^n a_k$
$\sum$后面的量成为被加数(summand)
$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$
其中$p_k$表示第$k$个素数，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素数的个数。
这个和式给出了接近$N$的随机整数平均而言有多少个素因子，因为那些整数中大约有$1/p$个能被$p$整除，对于大的$N$，它的值近似等于$lnlnN + M$，其中
$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$
是麦尔腾(mertens)常数(百度不到这个人？！)
2.2 和式和递归式
将$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$转化为和式
$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$
其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$
$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$
字母$H$表示“调和的”,$H_n$称为一个“调和数”(harmonic number)