stiring数

在组合数学，Stirling数可指两类数，第一类Stirling数和第二类Stirling数。

stirling常应用于许多组合枚举问题中。

第一类stirling数：

 对第一类Stirling数

   ，也可记为 

s(n,m)的一个的组合学解释是：而 个人分成m组做环排列的方法数目。

递推式：

$$\begin{align*}s(n+1,2)&=s(n,1)+s(n,2)\cdot n\\&=(n-1)!+n(n-1)!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=(n-1)!+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=\frac{n!}{n}+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=n!\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\ \end{align*}$$

第二类stirling数：