泰勒(Taylor)级数

泰勒级数是用无限项的连加式来表示一个函数。设 $f(x)$在 $x_0$处具有 $n$阶导数，试找出一个关于 $(x-x_0)$的 $n$次多项式
$p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n$

来近似表达 $f(x)$，要求使得 $p_n(x)$与 $f(x)$之差是当 $x\rightarrow x_0$ 时比 $(x-x_0)^n$高阶的无穷小。
设 $p_n(x)$在 $x_0$处的函数值及它的直到 $n$阶导数在 $x_0$处的值依次与 $f(x_0), f'(x_0), \cdots, f^{(n)}(x_0)$相等，即满足
$p_n(x_0)=f(x_0), p_n'(x_0)=f'(x_0),$

$p_n''(x_0)=f''(x_0), \cdots, p_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0),$
按这些等式来确定系数 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$。对 $p_n(x)$求各阶导数，然后分别代入以上等式，得
$a_0=f(x_0), 1\cdot a_1=f'(x_0),$

$2!a_2=f''(x_0), \cdots , n!a_n=f^(n)(x_0)$

可得
$a_0=f(x_0), a_1=f'(x_0), a_2=\frac{1}{2!}f''(x_0), \cdots, a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$

由此可得
$p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

泰勒中值定理1

如果函数 $f(x)$在 $x_0$处具有 $n$阶导数，那么存在 $x_0$的一个领域，对于该邻域内的任一 $x$，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中
$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$

泰勒中值定理2

如果函数 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域 $U(x_0)$内具有 $(n+1)$阶导数，那么对任一 $x\in U(x_0)$，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

这里 $\zeta$是 $x_0$与 $x$之间的某个值。

二元函数的泰勒级数

如果函数 $f(x, y)$在 $(x_0, y_0)$处具有 $n$阶偏导数，那么存在 $(x_0, y_0)$的一个领域，对于该邻域内的任一 $(x,y)$，有
$\begin{aligned} f(x,y)= & f(x_0, y_0)+ \\ & f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0)+ \\ & \frac{f_{xx}''(x_0, y_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f_{xy}''(x_0, y_0)}{2!}(x-x_0)(y-y_0) + \frac{f_{yx}''(x_0, y_0)}{2!}(x-x_0)(y-y_0) + \frac{f_{yy}''(x_0, y_0)}{2!}(y-y_0)^2\\ &\cdots + R_n(x, y) \end{aligned}$

多元函数的泰勒级数

如果函数 $f(x^n)$在 $x_0^n$处具有 $n$阶偏导数，其中 $n=1,2,3, \cdots$，那么存在 $x_0^n$的一个领域，对于该邻域内的任一 $x^n$，有
$\begin{aligned} f(x^1, x^2, x^3,\cdots, x^n) = & f(x_0^1, x_0^2, x_0^3,\cdots, x_0^n)+ \\ & \sum_{i=1}^n(x^i-x_0^i)f_{x^i}'(x_0^1, x_0^2, x_0^3,\cdots, x_0^n) + \\ &\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^n(x^i-x_0^i)(x^j-x_0^j)f_{ij}''(x_0^1, x_0^2, x_0^3,\cdots, x_0^n)+ \\ & R_n(x^n) \end{aligned}$

矢量函数的泰勒展开

对于矢量函数 $\vec{F}(\vec{r})$，可将其看成三元函数 $\vec{F}(x, y, z)$，根据上面的多元函数的泰勒级数，可以得到矢量函数的泰勒展开式为
$\begin{aligned} \vec{F}(\vec{r})= &\vec{F}(x,y,z) \\ =&\vec{F}(x_0,y_0,z_0)+(x-x_0)\frac{\partial \vec{F}}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial \vec{F}}{\partial y}+(z-z_0)\frac{\partial \vec{F}}{\partial z}+R_n(x,y,z) \\ =&\vec{F}(\vec{r}_0) + [(\vec{r}-\vec{r}_0)\cdot \nabla]\vec{F} + R_n(\vec{r}) \end{aligned}$

将泰勒级数写成矩阵形式

$f(\bm{X})=f(\bm{X}_0)+[\nabla f(\bm{X}_0)]^T+\frac{1}{2!}[\bm{X}-\bm{X}_k]^TH(\bm{X}_0)(\bm{X}-\bm{X}_0)+R_n(\bm{X})$

其中
$H(\bm{X}_0)= \begin{bmatrix} \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_1^2} & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_1 x_2} & \cdots & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_1 x_n} \\ \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_2 x_1} & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_2 x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_n x_1} & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_n x_2} & \cdots & \frac{\partial ^2 f(\bm{X}_0)}{\partial x_n^2} \\ \end{bmatrix}$