越学越懵了，计算机中是怎么进行采样的，用了这么久的 rand() 函数，到现在才知道是怎么做的。
从均匀分布中采样
计算机中通过 线性同余发生器（linear congruential generator，LCG）很容易从一个 $ x \sim Uniform[0, 1)$ 的均匀分布中进行采样。如果要从 \(y \sim Uniform[a, b)\) 的均匀分布中采样，只需要 \(x\) 的基础上做个变换 \(y = (b-a)x + a\) 即可。
当然除了 LCG 外，还有其它均匀分布随机数生成方法，这里不一一列举，可以参考博客随机数生成（一）：均匀分布。
单独把均匀分布采样摘出来是因为它很基础，很多其它采样方法都是在该基础上进行操作。
对离散型变量采样
我们现在通过某种方法（比如 LCG）可以生成均匀分布的随机数，这个时候我们就完全可以对某个含有有限个离散取值的变量 \(r\) 进行采样，方法就是采用轮盘赌选择法。
假设离散型变量 \(r\) 有 3 个取值，\(a_1, a_2, a_3\)，概率分布如下图所示：
所有取值概率之和为 1。此时我们可以从 \(Uniform[0, 1)\) 生成一个随机数 \(b\)，若 \(0 \le b < 0.6\)，则选择出 \(a_1\)；若 \(0.6 \le b < 0.7\)，则选择出 \(a_2\)；若 \(0.7 \le b < 1\)，则选择出 \(a_3\)。
对连续型变量采样
上面我们已经讨论了从均匀分布 \(U[a,b)\) 中采样，对于其余分布，如高斯分布、gamma 分布、指数分布、t 分布、F 分布、Beta 分布、Dirichlet 分布等等，都可以基于 \(U[0,1)\) 的样本生成。例如高斯分布可以通过 Box-Muller 变换得到：
【Box-Muller 变换】如果随机变量 \(U_1,U_2\) 独立且 \(U_1,U_2 \sim Uniform[0, 1]\)，
\[ \begin{aligned} Z_0 = \sqrt{-2\ln U_1} \cos (2 \pi U_2) \\ Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1} \sin (2 \pi U_2) \end{aligned} \]
则 \(Z_0, Z_1\) 独立且服从标准正态分布。
想要得到服从 \(Z_2 \sim N(\mu, \sigma^2)\) 的高斯分布，则只需对 \(Z_0 \sim N(0, 1)\) 做如下变换：
\[ Z_2 = \sigma Z_0 + \mu \]
对于更加一般分布 \(p(x)\)，如下图所示，我们该如何对其进行采样呢？
这个时候我们可以使用 rejection sampling。
Rejection sampling 首先寻找一个简单的分布 \(q(x)\)，然后乘以一个常数 \(M\)，使其满足 \(p(x) \le M \cdot q(x)\)，如下图所示，\(q(x)\) 是一个高斯分布，\(M = 2\)。
在找到一个分布 \(2q(x)\) 能完全“覆盖”分布 \(p(x)\) 后，我们任意 sample 一个样本点 \(x_i\)，但此时，我们将以 \(\frac{p(x_i)}{2q(x_i)}\) 的概率选择去接收这个样本，以 \((1 - \frac{p(x_i)}{2q(x_i)})\) 的概率选择去拒绝该样本。rejection sampling 平均会接收 \(\frac{1}{M}\) 个样本点。
rejection sampling 优点：使用 rejection sampling 可以对大多数分布进行采样，即使这些“分布”没有进行归一化。
rejection sampling 缺点：当 \(p(x)\) 和 \(2q(x)\) 相差太多时，rejection sampling 将拒绝大多数样本点；其次，对于高维数据，常数 \(M\) 会很大，简单使用 rejection sampling 所需要的样本量随空间维数增加而指数增长，即高维情况下不适合用 rejection sampling，此时 MCMC（Markov Chains Monte Carlo）和 Gibbs sampling 才是主流。（当然 MCMC 等既能处理离散情况也能处理连续情况。）
References
线性同余发生器 -- 百度百科
随机数生成（一）：均匀分布 -- MoussaTintin
LDA-math-MCMC 和 Gibbs Sampling -- 靳志辉
MCMC(一)蒙特卡罗方法 -- 刘建平Pinard