埃拉托色尼素数筛选法的证明及原理

一、什么是素数？

　　素数又称为质数。素数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。素数在日常中最多的应用就是加密算法，例如RSA加密算法就是基于来实现的。RSA算法会随机生成两个1024位的质数相乘，要破解密码必须对乘积做质因数分解，而1024位的质因数分解是非常困难的。

二、如何快速的算出小于某个数的所有素数？

　　从素数的概念上似乎可以很快得出一个算素数的公式，即将一个数循环做除法，从1一直除到它本身，如果中途只有被1和自己整除了这个数便是素数了，这样的计算效率是非常差的，因为他会不停的遍历整个数据范围。我们来试着跑一下它的效率：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
for i in range(2,100000):
    for j in range(2,i):
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:01:04.326679 ，在没有print的情况下竟然用了1分多钟，并且数字越大计算越慢。这样的效率肯定是不被允许的。下面介绍一种最常见的质数算法的原理：

三、埃拉托色尼素数筛选法

　　埃拉托色尼是一名古希腊的地理学家，他是世界上第一个计算出地球周长的人。埃拉托色尼素数筛选法可以很快速的计算出1到N之间的所有素数。将n开根号，即N^0.5，去掉2到N^0.5中所有素数的倍数，剩下的数便都是素数了。例如求1到25中的素数有哪些，第一步是将25开根号，得到5；第二步将2到5的素数取出来，分别是2、3、5；再将2到25中且是2、3、5的倍数的数去掉，即去掉4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25，剩下2、3、5、7、11、13、17、19便是1到25中的所有素数了。

　　这里还用到了一个数学知识，即只要小于或等于根号N的数（1除外）不能整除N，则N一定是素数；反过来说就是只要小于或等于根号N的数（1除外）能整除N，则N一定是合数。下面给出证明过程：

假设一个数N是合适，那一定存在一个因数b和一个非1且非自身的因数a，即a*b=N

等式两边同时开根号得出：(a*b)^0.5=a^0.5*b^0.5=N^0.5

可以推出：若N为合数，则a和b中一定有一个大于或等于N^0.5，另一个小于或等于N^0.5

　　按照这个结论，就只需计算小于等于N^0.5的数了，这样就大大提高了效率（要注意等于N^0.5的这个边界）：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
for i in range(2,100000):
    for j in range(2,int(i**0.5+1)): #边界需要加1
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:00:00.428024 。可以说是质的飞跃。

小的优化

　　我们也可以将偶数事先就排除在外，然后在进行素数筛选：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
print(2)
for i in range(3,100000,2): #从3开始，跳过偶数
    for j in range(2,int(i**0.5+1)):
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:00:00.406024 ，又快了不少。