素数问题
咸鱼的一天。
素数（质数）：除了1和它本身没有其他的因子；
合数：反之
原理：
1.算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
2. 若一个数可以进行因数分解，则得到的两个数一定是有一个>=sqrt(x),另一个<=sqrt(x)。
3.1-N内的素数的个数大约是logN。
素数主要有两个基本问题：
1.求1—n中的所有素数
2.判断一个数是否是素数
暴力写法：
#include<bits/stdc++>
#define MAXN 1e5;
bool isprime[MAXN];
bool is_prime(int x)
{
int flag=0;
for(int i=2;i<x;i++)
{
if(x%i==0)
{
flag++;
break;
}
}
if(flag)
{
isprime[x]=false;
return false;
}
else
{
isprime[x]=true;
return true;
}
}
int init(int N)
{
int cnt=0; //记录素数的个数
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(is_prime(i))
cnt++;
}
return cnt;
}
暴力复杂度过高不可取。O(n*sqrt(n))
筛法：
1.朴素筛：
初始所有偶数置为false，所有奇数置为true。所有奇数的倍数置为false。
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//缺点:同一个数被不同因子筛了多次
#define MAXN 1e5
bool isprime[MAXN];
void init(int N)
{
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(i%2==0) isprime[i]=false;
else isprime[i]=true;
}
for(int i=3;i<=N;i++)
{
if(i%2!=0)
{
for(int j=2;j*i<=N;j++)
isprime[j*i]=false;
}
}
}2.埃氏筛
埃拉托斯特尼筛法，利用当前已经找到的素数，从后面的数中筛去当前素数的倍数。
原理：每个大于1的正整数n都可以表示成素数之积的形式。所以在1到n中一个数若不是素数，一定会被筛到。
复杂度：O(n*lglgn),近似为O(n)。
缺点：某些数被每个质因子都筛了一遍导致速度减慢。
#define MAXN 1e5
bool isprime[MAXN];
void init(int N) //求1到N中所有的素数
{
memset(isprime,true,sizeof isprime);
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(isprime[i]) //2是素数,所以可以直接这样写
{
for(int j=2;i*j<=N;j++)
isprime[i*j]=false;
}
}
}3.欧拉筛
和埃氏筛法的区别是对于每一个要筛除的数，欧拉筛法只筛除一次。
复杂度：O(n)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=100000+5;
bool isprime[MAXN];//isprime[]表示i是不是质数
int prime[MAXN], tot;//prime[]用来存质数
void init(int N)
{
memset(isprime,true,sizeof(isprime)/sizeof(bool)*N); //初始化所有的数为质数
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(isprime[i])
prime[tot ++] = i;//把质数存起来
for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++)
{
isprime[i*prime[j]]=false;
if(i%prime[j]==0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去
}
}
}总结：
朴素筛和埃筛区别：
朴素筛：把1-N内每个奇数的倍数给筛一遍
埃筛:把1-N内每个素数的倍数给筛一遍
1-N内奇数大于素数，所以数据量一大，时间差别明显。
埃筛和欧拉筛复杂度其实相差不是很多，更推荐埃筛，毕竟好写很多。
素数测定：
定理：若一个素数N不能被sqrt(N)下的所有素数整除，该数是素数
Lucas-Lehmer判定（会套板子就行）
Miller判断（会套板子就行）