埃拉托斯特尼筛法

思想：素数的倍数一定不是素数

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

算法步骤：
给出要筛数值的范围n，找出n以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉，因为2的倍数一定是合数；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去。

如果觉得很难理解可以看下这个链接，是个动态的图片：
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes#/media/File:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif

网易云公开课里面也有关于计算数论的视频，讲得蛮清晰的，强烈推荐：
https://open.163.com/movie/2012/10/0/6/M99VJKUHC_M9ENDUB06.html

上题
pat有原题：https://www.nowcoder.com/pat/6/problem/4079

令Pi表示第i个素数。现任给两个正整数M <= N <= 10000，请输出PM到PN的所有素数。
输入在一行中给出M和N，其间以空格分隔。
输出从PM到PN的所有素数，每10个数字占1行，其间以空格分隔，但行末不得有多余空格。

输入
5 27

输出
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43

47 53 59 61 67 71 73 79 83 89

97 101 103

分析
这题需要你输出第M个到第N个素数，如果一开始不知道这个埃拉托斯特尼筛法，那么就会像我一开始一样，将所有数字用是否是素数的函数进行判断。理解了埃拉托斯的思想后，题目要求的是10000个素数内，它的时间复杂度也就降到了(nlogn).

先上普通方法写的，在自己电脑上跑是没问题的，但是计算时间答不到题目要求的1s以内的时间。

//质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
using namespace std;
#define maxsize 1000000
bool isPrime(int n)
{
    int m=2;
    while(n%m!=0 && m<n)
    {
        m++;
    }
    if(m!=n)
    return false;
    else
    return true;
}
int main()
{
    /* code */
    freopen("1.txt","r",stdin);
    int M,N;
    int k=0;//目前是第几个素数
    cin>>M>>N;
    if(M==1) 
    {
        cout<<M<<" ";
        k++;
    }
    for(int i=2;i<=maxsize;i++)
    {
        if(isPrime(i))
        {
           k++;
           if(k>N)
           return 0;
           if(M<=k&&k<=N)
           {
            if(k==N)
            cout<<i;
            else
            cout<<i<<" ";
            if(k==M+9 || (k-M-9)%10==0)
            cout<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

然后是用埃氏筛优化后的代码：

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #define maxsize 1000000
    using namespace std;
    int main()
    {
        freopen("1.txt", "r", stdin);
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int k = 0;                       //记录第几个素数
        long long number[maxsize] = {0}; //未做标记即为0，表示是质数，不是合数
        for (int i = 2; i < maxsize; i++)
        {
            if (number[i] == 0)
            {
                int k = 2;
                for (int t = 2; t * i <= maxsize; t++)
                {
                    if (number[t * i] == 0)
                        number[t * i] = 1; //做标记即为1，表示是合数
                }
            }
        }
        int temp = a;
        for (int y = 2; y < maxsize; y++)
        {
            if (number[y] == 0)
            {
                k++;

                if (k >= a && k <= b)
                {
                    if ((k - temp) % 9 == 0 && k != temp)
                    {
                        cout << y << endl;
                        temp += 10;
                    }
                    else if (k == b)
                        cout << y;
                    else
                        cout << y << " ";
                }
            }
        }
    }

除了注意需要将素数的倍数做标记，还要注意最后输出的格式，末尾不能有空格。

埃拉托斯特尼筛法-更简单判断素数

埃拉托斯特尼筛法

猜你喜欢