LCA 最近公共祖先，树上两点距离，线段重合长度

对于LCA的一些理解

RMQ

• dfs处理树
  对于一个树形结构，可以用dfs将一颗树转化成数组，数组中记录每个点的标号，这样数组就按照dfs的顺序把树存了下来

• 确定祖先的范围
  对于询问的节点X和Y， X、Y的祖先一定存在于数组中X、Y第一次出现的区间内，而且祖先就是区间内深度最小的节点

• RMQ
  dfs的复杂度就是树边数的二倍，所以区间查询需要优化，这里可以用RMQ算法，预处理结果O(1)得到最值

void dfs(int pre, int x, int step) {
    depth[x] = step;
    first[x] = cnt;
    tree[cnt] = x;
    cnt++;
    int len = g[x].size();
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        if (g[x][i] == pre) continue;
        dfs(x, g[x][i], step + 1);
        tree[cnt++] = x;
    }
    return;
}
int Min(int a, int b) {
    if (depth[a] < depth[b])    return a;
    else    return b;
}
void RMQ() {
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        dp[i][0] = tree[i];
    }
    for (int i = 1; (1 << i) <= cnt; ++i) {
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= cnt; ++j) {
            dp[j][i] = Min(dp[j][i - 1], dp[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
        }
    }
}
int LCA(int a, int b) {
    int l = first[a];
    int r = first[b];
    if (l > r)  swap(l, r);
    int len = log2(r - l + 1);
    return Min(dp[l][len], dp[r - (1 << len) + 1][len]);
}

树上倍增

father[ i ] [ j ]表示 i 的第 2 ^ j 个父亲

• dfs
  dfs在处理深度的同时更新每个人的father数组

void dfs(int pre, int x, int step) {
    // 更新father
    for (int i = 1; i < log2(n); ++i) {
        if (fa[x][i - 1] == 0)  break;
        fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
    }
    // 记录深度
    depth[x] = step;
    int len = g[x].size();
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        if (g[x][i] == pre) continue;
        fa[g[x][i]][0] = x;
        dfs(x, g[x][i], step + 1);
    }
}

• LCA
  首先将两个节点的深度调成一样，如果深度相同而且是同一个点就找到最近的祖先了，如果深度相同但是节点不同，这时就要向上倍增，需要注意的是倍增的中止条件不是两个节点相同，而是节点的父亲相同。因为每次倍增的范围很大，很可能超过最近公共祖先，我们可以从最大的祖先开始，如果祖先相同缩小范围，如果祖先不同更新两个点的状态继续找，最后两个人的最近公共祖先一定是father[ i ][ 0 ]

int LCA(int a, int b) {
    if (depth[a] < depth[b])  swap(a, b);
    int depth_x = depth[a] - depth[b];
    // 先将两个点的深度调成一样
    for (int i = 0; i <= log2(depth_x); ++i) {
        if (depth_x & (1 << i))
            a = fa[a][i];
    }
    // 如果深度一样，而且相同直接返回
    if (a == b) return a;
    // 从最远的父亲开始
    for (int i = log2(depth[a]); i >= 0; --i) {
        // 如果父亲不同就向上更新
        if (fa[a][i] != fa[b][i]) {
            a = fa[a][i];
            b = fa[b][i];
        }
    }
    return fa[a][0];
}

求树上两点的距离

树上两点的距离是唯一的，距离 = depth[X] + depth[Y] - 2 * depth[ancestor]

线段重合的长度

思想和求距离一样，例如A到C和B到C的重合长度 = （dis_ac + dis_bc - dis_bc）/ 2

int dis(int a, int b) {
    int ancestor = LCA(a, b);
    int depth_a = depth[a];
    int depth_b = depth[b];
    int depth_ancestor = depth[ancestor];
    return depth_a + depth_b - 2 * depth_ancestor;
}