0 前言
这一章 的题目是二元关系与函数。如何理解？ 函数，是x 到y 的映射，这种映射反应的就是一种关系（涉及到了x、y两个变量，所以是二元关系），因为定义域x 是一个集合、值域y 也是一个集合所以函数就是一个<x, y> 有序对的集合！
所以函数即是数对的集合！
函数的最基本定义不再是一种“对应规则”，而是集合。 有了函数的定义，我们就可以用 关系 来定义函数的复合、反函数 等概念。
此外，我们常常讲关系数据库，一个关系实际对应到一张关系数据表，作为数据库操作的数学基础，关系中不同的运算可映射到数据库中的不同操作。
1 有序对与笛卡尔积
1.1 有序对
定义： 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>
实例：点的直角坐标(3,-4)
性质: 有序性 <x,y><y,x> （当x
y时）
例1 <2, x+5> = <3y- 4, y>，求 x, y.
解 3y- 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = - 3
1.2 笛卡尔积
定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AXB， 即 A X B ={ <x,y> | xA
y
B }
例2 A={1,2,3}, B={ a,b,c}
AXB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>}
BXA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>}
1.3 笛卡尔积的性质
2 关系
2.1 二元关系
定义 如果一个集合满足以下条件之一, 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
（1）集合非空, 且它的元素都是有序对
（2）集合是空集
如<x,y>∈R, 可记作 xRy；
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}.
R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系
2.2 A上的二元关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,
当A=B时则叫做 A上的二元关系.
例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3 是从 A 到 B
的二元关系, R3 也是 A上的二元关系.
计数：|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有 
个. 所以 A上有 
个不同的二元关系.
例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
2.3 关系举例
空关系：设 A 为任意集合，
是 A 上的关系，称为空关系.
全域关系: 
={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A
恒等关系: 
={<x,x>|x∈A}
小于等于关系: 
整除关系: 
包含关系:
例如, A={1,2}, 则
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
IA={<1,1>,<2,2>}
2.4 关系的表示
关系的表示方式有三种：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图。
- 关系集合：
- 关系矩阵：若A={
a1, a2, …, am}，B={
b1, b2, …, bn}，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵
- 关系图：若A= { x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系。
3 关系的运算
