HDU5307 He is Flying 【FFT】

题目描述：

n段连续编号为1~n的道路，每段长度为一个非负整数，道路总长<=50000，n<=100000
从编号为 $j$ 的路走到编号为 $i$ 的路所得到的快乐值为 $j-i+1$
对于每个 $S$ ，( $0\le S\le\sum si$ )，求出走所有长度为S的路（可以是几段接起来的）得到的快乐值
简述：数列 $\{s_n\}$ ，总和为 $Sum$ ，求 $k\in[0,Sum]$ ，所有区间和为k的区间长度和

题目分析：

把加法运算转化为幂的次数，再利用系数得到答案
$si-sj<=>x^{si}~*~x^{-sj}$
那么所有的区间就可以表示成多项式相乘的形式：
$\left(\sum_{i=1}^nx^{si}\right)*\left(\sum_{j=0}^{n-1}x^{-sj}\right)$
乘出来的 $x^k$ 项的系数就是长度为k的区间的个数，当i<=j时次数为非正数，对答案无影响
（所以要特殊处理长度为0的情况，预处理，O(n)扫一遍即可）
那么再考虑把区间长度加进去，就是：
$\left(\sum_{i=1}^nix^{si}\right)*\left(\sum_{j=0}^{n-1}x^{-sj}\right)-\left(\sum_{i=1}^nx^{si}\right)*\left(\sum_{j=0}^{n-1}jx^{-sj}\right)$
做两次FFT即可，第二个多项式由于次数为负，所以右移sum次 $(x^{sum-sj})$

double最多有15位有效数字，而此题答案可能大于10¹⁵，所以要用 long double，或者写NTT，不过模数要很大，还要写大数模乘法。。。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 400005
using namespace std;
const long double Pi = acos(-1);
struct complex
{
	long double r,i;
	complex(long double _r=0,long double _i=0):r(_r),i(_i){}
	complex operator + (const complex &t)const{return complex(r+t.r,i+t.i);}
	complex operator - (const complex &t)const{return complex(r-t.r,i-t.i);}
	complex operator * (const complex &t)const{return complex(r*t.r-i*t.i,r*t.i+i*t.r);}
}x1[maxn],x2[maxn],w,wn;
void change(complex *x,int len)
{
	for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;i++)
	{
		if(i<j) swap(x[i],x[j]);
		for(k=len/2;j>=k;j-=k,k>>=1);
		j+=k;
	}
}
void fft(complex *x,int len,int flg)
{
	change(x,len);
	for(int i=2;i<=len;i<<=1)
	{
		wn=complex(cos(2*Pi*flg/i),sin(2*Pi*flg/i));
		for(int j=0;j<len;j+=i)
		{
			w=complex(1,0);
			for(int k=j;k<j+i/2;k++)
			{
				complex u=x[k],v=w*x[k+i/2];
				x[k]=u+v,x[k+i/2]=u-v;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flg==-1) for(int i=0;i<len;i++) x[i].r/=len;
}
int T,n,s[maxn];
long long ans[maxn],sum[maxn];
int main()
{
	for(int i=1;i<=100000;i++) sum[i]=sum[i-1]+i*(i+1)/2;//0的预处理
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
		int len=1;while(len<=2*s[n]) len<<=1;
		for(int i=0;i<len;i++) x1[i]=x2[i]=complex();
		for(int i=1;i<=n;i++) x1[s[i]].r+=i;
		for(int i=0;i<n;i++) x2[s[n]-s[i]].r++;
		fft(x1,len,1),fft(x2,len,1);
		for(int i=0;i<len;i++) x2[i]=x1[i]*x2[i];
		fft(x2,len,-1);
		for(int i=0;i<len;i++) ans[i]=(long long)(x2[i].r+0.5);
		for(int i=0;i<len;i++) x1[i]=x2[i]=complex();
		for(int i=1;i<=n;i++) x1[s[i]].r++;
		for(int i=0;i<n;i++) x2[s[n]-s[i]].r+=i;
		fft(x1,len,1),fft(x2,len,1);
		for(int i=0;i<len;i++) x2[i]=x1[i]*x2[i];
		fft(x2,len,-1);
		for(int i=0;i<len;i++) ans[i]-=(long long)(x2[i].r+0.5);
		ans[s[n]]=0,s[n+1]=-1;
		for(int i=1,tmp=0;i<=n+1;i++)
			if(s[i]==s[i-1]) tmp++;
			else ans[s[n]]+=sum[tmp],tmp=0;
		for(int i=0;i<=s[n];i++) printf("%lld\n",ans[i+s[n]]);
	}
}