P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题概念梳理

非"正规"问题

• 不可解问题：不存在解决算法的问题
  例子：停机问题
• 不可能有复杂度O(多项式)问题
  例子：输出从1到n这n个数的全排列（因为把结果打印出来也是O(n!)的复杂度）

"正规"问题

正规的问题是让程序解决一个问题

• 输出一个“YES”或“NO”（这被称为判定性问题）
• 输出一个什么什么的最优值（这被称为最优化问题）。
  

P | NP

• P类问题：存在多项式时间算法的问题。
  算法程序(O(多项式))->问题解
• NP类问题：可以在多项式的时间内验证一个解的问题。
  猜测解->验证程序(O(多项式))->Yes(猜测解是问题解)/No(猜测解不是问题解，选择另外的猜测解)

很显然，P类问题是NP类问题，P类问题的验证程序可以这样设计，显然验证程序属于O(多项式)。

验证程序(猜测解)：
	算法程序->问题解
	return 问题解==猜测解

P=NP问题其实探讨的就是P类问题和NP类问题的关系，由前面我们知道P类问题是NP类问题，但是我们仍不知道NP类问题是不是P类问题。为什么这个意义很大呢？

举个例子，比特币的工作量证明很明显是NP问题，验证解只需要哈希一下。

比特币的工作量证明隐含着 $P\neq NP$的看法。对于工作量证明这个NP问题，假设比特币矿工的求解方法只有遍历Nonce值（在这种情况下才能保证系统安全）。如果这个前提成立，工作量证明就是 $P\neq NP$的例子。因为该算法只有遍历的求解算法，其不是P类问题，同时由前面知道它是NP类问题。

如果， $P=NP$，那么矿工可以多项式方式求解出工作量证明的解，那么比特币系统不再安全。

注意：虽然大部分人都趋向于 $P\neq NP$，但这只是个猜想，目前还没得到证明。 $P=NP$问题可以说是计算机科学理论的皇冠。图灵奖颁给证明人，应该算是图灵奖的荣幸。

NPC

NPC问题是在探索 $P=NP$问题过程中发现的一类问题。我们发现所有的NP问题可以在多项式时间内归约于NPC问题。目前，所有的NPC问题没有找到多项式的解，如果找到了，则证明了 $P=NP$。

注意，这里有个容易混淆的地方，虽然所有的NP问题都可以归约于NPC问题，而NPC问题目前无多项式的解，但并不意味的所有的NP问题都没有多项式的解。逻辑是这样的， $O(NP)<=O(NPC)$而不是 $O(NP)=O(NPC)$。即，某些NP问题在归约的过程中变得更加复杂，如P类问题。

NPH

NPC问题满足两个条件：

• 它是一个NP问题
• 所有的NP问题都可以约化到它

NPH问题只满足上面中的一个条件：

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• 所有的NP问题都可以约化到它

因此，NPH问题不一定是NP问题，所以它的范围比NPC要广。