约瑟夫问题，从o(n*m)到o(n)乃至o(m)的算法复杂度进阶

问题描述：

n个人（编号1~n)，从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数。按顺序输出列者编号。

1.算法复杂度为o(n*m)

使用链表进行模拟整个游戏过程

2.算法复杂度为o(n)

将n个人按照从0~n进行编号，出列的第一个人编号是m%n-1，将剩下的n-1个人组成一个新的约瑟夫环（从编号为k=m%n的人重新编号）:

   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1 --> 1
...
...
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n


如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：


令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]


递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)


有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1


由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单： 

#include <stdio.h>
int main()
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

3.算法复杂度为O(m)(m<<n)

事实上，如果我们观察上述算法中的变量s，他的初始值为第一个出圈人的编号，但在循环的过程中，我们会发现它常常处在一种等差递增的状态，我来看这个式 子：s=(s+m)%i;，可以看出，当i比较大而s+m-1比较小的时候，s就处于一种等差递增的状态，这个等差递增的过程并不是必须的，可以跳过。

我们设一中间变量x，列出如下等式：
s+m*x–1=i+x

解出x，令s=s+m*x，将i+x直接赋值给 i，这样就跳过了中间共x重的循环，从而节省了等差递增的时间开销。可是其中求出来的x＋i可能会超过n，这样的结果事实上已经告诉我们此时可以直接结束算法了。

整个算法的C语言描述如下：

long Josephus(long n,long m,long k) //分别为：人数，出圈步长，起使报数位置,
{
    if (m == 1)k = k == 1 ? n : (k + n - 1) % n;
    else
    {
        for (long i = 1; i <= n; i++)
        {
            if ((k + m) < i)
            {
                x = (i - k + 1) / (m - 1) - 1;
                if (i + x < n)
                {
                    i = i + x;
                    k = (k + m * x);
                }
                else
                {
                    k = k + m * (n - i) ;
                    i = n;
                }
            }
            k = (k + m - 1) % i + 1;
        }
    }
    return k; //返回最后一人的位置
}

该算法的算法复杂度在m<n时已经与一个圈中的人数n没有关系了，即使在n=2000000000，m=3，s=1的情况下，也只做了54次循环，事 实上，大多数的情况都是m<n，且m相对来说很小，此时，这个算法的复杂度仅为O(m)；但当m>=n时，用方程求出的值不能减少循环重数，算法复杂度仍为O(n)。

相关链接：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/21/2024377.html