时间复杂度O(n)的理解

1. 时间复杂度

1.1 例子

我们先来看一个简单的Java例子，来感受下时间复杂度的计算

public class Java11Test {

    public static void main(String[] args) {
        int[] array={3,7,9,1,4,6,2,8,5,0};
        System.out.println(arraySearch(array, 10, 6));       // 5
        System.out.println(arraySearch(array, 10, 66));      // -1
    }

    // 查找成功返回该元素的index, 失败返回-1
    public static int arraySearch(int[] array, int valueNumber, int value) {
        for(int i = 0; i < valueNumber; i++) {	// 1次	n+1次	n次
            if(array[i] == value) {		        // n次
                return i;				        // 1次
            }
        }

        return -1;
    }

}

则arraySearch函数的时间复杂度T(n) = O(f(n)) = O(1 + (n + 1) + n + n + 1) = O(3n + 3) = O(n)

1.2 概念的说明

• 评估角度：一个算法通常有最理想情况、平均情况、最糟糕情况，我们一般只考虑最糟糕情况
• f(n)：一个算法运行的精确次数，如上面的例子，数据集合的大小为n, 则f(n) = 3n + 3
• O(f(n))：精确次数===>渐进次数，因为我们通常考虑n趋于无穷大的情况，具体的规则如下：
  1. 当f(n)为常数时，如f(n) = 10，则O(f(n)) = O(10) = O(1)
  2. 当f(n)为多项式时，只取最高阶项，如f(n) = $2n^2+n+3$，则O(f(n)) = O($2n^2$)
  3. 当f(n)有乘常数，则去除常数，如f(n) = $2n^2$，则O(f(n)) = O($n^2$)
• 什么是时间复杂度：一个算法运行所需要的时间，但不同的服务器所需的时间不同，通常采用一个算法运行的渐进次数来表示，即T(n)，n是数据集合的大小，表示公式为T(n) = O(f(n))

1.3 常见的时间复杂度介绍

1.3.1 $O(lo{g}_{2}n)$

程序示例：

        int i = 1;
        while (i < n) {
            i = i * 2;
        }

在while循环里面，每次都将i乘以 2，乘完之后，i 距离n就越来越近了。假设循环x次之后，i就大于n了，此时这个循环就退出了，也就是说2的x次方等于n，那么x = $lo{g}_{2}n$。因此这个代码的时间复杂度为：$O(lo{g}_{2}n)$。 当代码中i = i * 3 ，则时间复杂度是$O(lo{g}_{3}n)$

1.3.2 $O(nlo{g}_{2}n)$

程序示例：

        for(int m = 1; m < n; m++) {
            int i = 1;
            while (i < n) {
                i = i * 2;
            }
        }

将时间复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$的代码循环n遍的话，那么它的时间复杂度就是$O(nlo{g}_{2}n)$

1.4 常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大排列

O(1) < O(log n) < O(n) < O(n logn) < O($n^2$) < O($n^3$) < O($2^n$) < O(n!)

其中$lo{g}_{k}n$渐进为logn

2. 空间复杂度

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元

在大多数应用场景，一个好的算法更看重时间复杂度，而空间复杂度只要合理即可