I.点积的几何意义
描述了向量w在向量v上的投影的长度与向量v的长度的乘积
为负值的情况是投影与v向量方向相反
II. 点积为啥与顺序无关
当v和w长度一样时，v*w=w*v显而易见
当v和w长度不等时，使用相似原理证明
III. 点积为啥那样计算
我们会有个疑问: 对应坐标相乘并相加为啥就是投影长度*向量长度？
1.从二维空间到一维空间的线性变换考虑
首先注意，变换矩阵描述了变换后的空间的i基和j基在哪
举个例子，v向量从二维变换到一维后的位置通过矩阵向量乘法（那样乘是线性变换的需要）得出
这时，人们感觉=左边的矩阵*向量的形式和俩向量的点积的样子很像，所以自然奇怪点积的得数是不是就是=右边的形式(即矩阵和向量的得数)?
这里就是一个对偶性。下面就要证明到底点积等不等于=右边的形式？
2.证明
描述线性变换的矩阵和其在二维空间中的向量有什么关系呢？
我们在二维空间定义一个斜的数轴，注意数轴是一维的，代表二维空间的向量线性变换后在一维空间的大小。向量u是一个二维空间的向量，并且正好在这个数轴上。
我们现在会有个疑问，这个投影矩阵怎么描述？
而通过把i基和j基画到数轴上，就能找到这个矩阵。现在我们奇怪画到数轴上对应的大小是多少?
根据对称性，我们知道i基落在数轴上是, j基落在数轴上是
。
大眼一瞧，一个向量在数轴上投影长度= 投影长度*1(1是u的长度)= 向量和u的点积（后面的等式是点积的语言描述）
所以，一个向量在数轴上的投影长度=向量和单位向量u的点积
当u不是单位向量的时候，比如u的长度扩大为三倍，这样基向量的投影也可以扩大3倍作为变换矩阵(3Ux,3Uy)，这样任意二维空间的向量投影到数轴上再扩大三倍才是变换的结果。
大眼一瞧，向量线性变换的结果=向量在数轴上的投影*3(3是u的长度)。所以线性变换的结果=向量与u的点积
最后，证明得到线性变换矩阵和二维空间的向量是关联的
adada
