拉格朗日对偶性(Lagrange duality)
1. 从原始问题到对偶问题
对偶性是优化理论中一个重要的部分，带约束的优化问题是机器学习中经常遇到的问题，这类问题都可以用如下形式表达
\[ \begin{aligned} min \;\; &f(x) \\ s.t.\;\; & g_i(x) \le 0 ,\;\; i=1,\cdots, m\\ & h_i(x) = 0,\;\; i=1,\cdots,n\\ \end{aligned} \]
约束条件减少需要求解的空间，但在机器学习中，约束条件往往比较复杂并且较多。因此先计算约束条件再在约束空间中计算最优值非常不方便。于是用广义拉格朗日函数将带约束优化问题转化为无约束优化问题
\[ L(x,\lambda,\eta) = f(x)+\sum_i^m \lambda_i g_i(x) + \sum_i^n \eta_i h_i(x) \]
这时，若按照拉格朗日乘数法直接对\(x、\lambda、\eta\)求偏导的话，结果对简化复杂的约束条件没有益处。我们希望获取一种能够优化原问题，又能简化计算的方法。于是进一步挖掘\(\lambda、\eta\)能够带来的东西，当我们对广义拉格朗日函数作关于\(\lambda、\eta\) 的最大化时
\[ \theta_P(x) = \underset {\lambda \ge 0,\eta} {max}\;L(x,\lambda,\eta) \]
其中，要求\(\lambda \ge 0\) ，很容易发现，在这个最大化问题中，若\(x\) 不满足原问题中的约束，那么这个最大化的结果一定是正无穷。例如，\(g_i(x)>0\) ，在关于\(\lambda、\eta\) 最大化时，其系数便会趋于无穷大使得整个式子趋于无穷大。而当\(x\) 满足约束时，最大化的结果一定是\(f(x)\) 。依据这个特性，我们可以将原广义拉格朗日函数的极小化问题拆解为两步
\[ \underset x {min} \;L(x,\lambda,\eta) = \underset x {min} \;\theta_P(x) = \underset x {min} \;\underset {\lambda \ge 0,\eta} {max}\;L(x,\lambda,\eta) \]
拆解后的问题$ \underset x {min} ;\underset {\lambda \ge 0,\eta} {max};L(x,\lambda,\eta)$ 称为广义拉格朗日函数的极小极大问题，它与原问题是完全等价的。在对偶性中，这个问题被称为原始问题（Primal problem）。
通过原始问题的极小极大问题，可以引出它的对偶问题（Dual problem），其对偶问题就是极小极大问题交换一个位置而已。首先定义
\[ \theta_D(\lambda,\eta) = \underset {x} {min} L(x,\lambda,\eta) \]
那么其对偶问题就是
\[ \underset {\lambda \ge 0,\eta} {max} \; \theta_D(\lambda,\eta)= \underset {\lambda \ge 0,\eta} {max} \;\underset {x} {min} L(x,\lambda,\eta) \]
这个问题是广义拉格朗日函数的极大极小问题，将其展开为约束最优化问题得到
\[ \underset {\lambda ,\eta} {max} \; \theta_D(\lambda,\eta)= \underset {\lambda ,\eta} {max} \;\underset {x} {min} L(x,\lambda,\eta)\\ s.t. \lambda_i \ge 0,\;\; i= 1,2,\cdots,k \]
可以看出两个函数的变量并不相同，对于原始问题，它的变量是\(x\)，而对于对偶问题，它的变量是\(\lambda,\;\eta\) 。并且，这两个问题并不等价，有时候甚至差的有点多。可以理解为其他国家最厉害的乒乓球队员，也没有中国最菜的乒乓球队员厉害，当然这比喻并不准确。
2. 弱对偶与强对偶
对偶函数可以理解为给原始函数找了一个下界，在原始函数计算困难的时候，可以通过解对偶函数来得到一个近似的值。并且在函数满足一定条件的时候，对偶函数的解与原始函数的解是等价的。具体来说，对偶 函数\(\theta_D(\lambda,\eta)=\underset {x} {min} L(x,\lambda,\eta)\) 确定了原始问题的一个下界，即
\[ \theta_D(\lambda,\eta) =\underset {x} {min} L(x,\lambda,\eta)\le L(x,\lambda,\eta)\le \underset {\lambda \ge 0,\eta} {max}\;L(x,\lambda,\eta)=\theta_P(x) \tag{2-a} \]
即
\[ \theta_D(\lambda,\eta) \le \theta_P(x) \]
其中，\(\theta_d(\lambda,\eta)\)看作其他国家乒乓球运动员，\(\theta_P(x)\)看作中国乒乓球运动员，那么其他国家最厉害的也不一定比得上中国最差的。即
\[ d^* =\underset {\lambda ,\eta} {max} \; \theta_D(\lambda,\eta)\le \underset x {min} \;\theta_P(x)=p^* \tag{2-b} \]
这个性质便是弱对偶性（ weak duality ）。弱对偶性对任何优化问题都成立，这似乎是显然的，因为这个下界并不严格，有时候甚至取到非常小，对近似原问题的解没多大帮助。既有弱对偶性，那么便有强对偶性，强对偶性是指
\[ d^* = p^* \]
显然这是一个令人惊喜的性质，这意味着可以通过求解较简单的对偶问题（因为对偶问题总是一个凸优化问题）来得到原问题的解。不过强对偶性在优化问题中是一个非常高深的问题，对我来说更是如此。因此我只能介绍关于强对偶的两个条件：严格条件和KKT条件。
3. KKT条件
严格条件是指原始问题是凸函数，约束条件是仿射函数，若此时不等式约束满足严格条件，即不等号是严格不等号，不能取等号，则强对偶性成立。这个条件在SVM中即变成了对任意一个点，都存在超平面能对其正确划分，也就是数据集是线性可分的。严格条件是强对偶性的充分条件，但并不是必要条件。有些不满足严格条件的可能也有强对偶性。
KKT条件是在满足严格条件的情况下，推导出的变量取值的关系，假设原始问题和对偶问题的极值点分别是\(x^*\)和\(\lambda^*,\eta^*\) ，对应的极值分别是\(p^*\)和\(d^*\) 。由于满足强对偶性，有\(p^*=d^*\) 。将极值点带入得到
\[ d^* = \theta_D(\lambda^*,\eta^*) =\underset x {min} L(x,\lambda^*,\eta^*) \tag{3-a} \]
这说明\(x^*\)是\(L(x,\lambda^*,\eta^*)\)的一个极值点，那么\(L(x,\lambda^*,\eta^*)\)在\(x^*\)处的梯度为0，即
\[ \triangledown f(x^*)+\sum_i^m\lambda_i g_i(x^*) + \sum_i^n \eta_i h_i(x^*) = 0 \tag{3-b} \]
由式\((2-a)\) ，
\[ \begin{aligned} d^* =& \underset x {min} L(x,\lambda^*,\eta^*) \\ \le &L(x^*,\lambda^*,\eta^*)\\ =& f(x^*) + \sum_i^m \lambda_i g_i(x^*) + \sum_i^n \eta_i h_i(x^*)\\ \le & p^* = f(x^*) \end{aligned} \tag{3-c} \]
由于\(p^*=d^*\)，因此上式不等号应取到等号，再与式\((3-b)\) 得
\[ \sum_i^m \lambda_i g_i(x^*) + \sum_i^n \eta_i h_i(x^*) = 0 \tag{3-d} \]
由于注意\(x^*\)作为该问题的解，是一定满足\(h(x^*) = 0\)的，因此
\[ \lambda_i g_i(x) = 0,\;\;\;i=1,2,\cdots,m \]
这个条件叫做互补松弛性（complementary slackness）。
其中，\(\lambda \ge 0\)称为对偶可行性。并且它似乎可以从原始问题到对偶问题的极小极大问题中总结出。不过这里可以有另一种解释，简化一下，考虑只有不等式约束的问题
\[ \begin{aligned} min \;\; &f(x) \\ s.t.\;\; & g(x) \le 0 \\ \end{aligned} \]
其中\(g(x) \le 0\)称为原始可行性，由它确定的区间称为可行域。假设\(x^*\)为该问题的解，那么其位置有两种情况
(1) \(g(x^*)<0\)时，解在可行域中取得。这时解称为内部解，约束条件无效，原问题变为无约束问题。
(2) \(g(x^*)=0\)时，解在边界上取得， 这时解称为边界解，约束条件有效。
内部解直接由梯度为0即可解得，这里主要讨论边界解。
对于\(g(x)=0\)的约束问题，建立拉格朗日函数
\[ L(x,\lambda) = f(x) + \lambda g(x) \]
因为驻点\(x^*\)在其上取得，那么该函数在\(x^*\)处的梯度为0，即
\[ \triangledown f(x^*) + \lambda \triangledown g(x^*) = 0 \]
这里两个梯度的方向应该是可以确定的，\(f(x)\)的极小值在边界取到，那么可行域内部的\(f(x)\)应该都是大于这个极小值的，因此\(\triangledown f\)的方向是可行域内部。而\(\triangledown g\)的方向是可行域外部，因为约束条件是\(g(x)\le 0\)，也就是可行域外部都是\(g(x)>0\)，所以梯度方向指向函数增加的方向。这说明两个函数的梯度方向相反，那上面这个等式要成立，\(\lambda\)只能是大于等于0。这就是对偶可行性。
再将其他的条件组合起来，便得到了KKT条件：
\[ \begin{aligned} \triangledown _x L(x^*,\lambda^*,\eta^*) =0 \\ g_i(x^*) \le 0\\ \lambda_i \ge 0\\ \lambda_i g_i(x^*) =0 \end{aligned} \]
Reference：
[2] Pattern Recognition and Machine Learning.
[3] 统计学习方法
[4] 支持向量机：Duality
[5] KKT条件