强对偶性、弱对偶性以及KKT条件的证明（对偶问题的几何证明）

1.原问题

首先给出问题的一般形式：

  上式表明我们一共有M+N个约束条件，对于不是求最小值或者约束条件大于等于0的情况，我们添加一个负号就可以变成上面这种形式。
  上述问题我们一般称之为带约束的原问题。

  利用拉格朗日乘子法，我们构造一个新的函数以及约束条件如下：

其中：

  我们称上面的问题为无约束的原问题（对x不再有约束）。上述L是拉格朗日乘子法的基本形式，这个就不再证明。

2.对偶问题

  对于无约束的原问题，我们先直接给出它的对偶问题形式（其实就是简单交换min和max）：

  上述问题我们称之为原问题的对偶问题。

2.1弱对偶性的一般证明

  所谓弱对偶性，指的是：

  在再谈SVM（hard-margin和soft-margin详细推导、KKT条件、核技巧）中，我们大致口头证明了弱对偶性的成立，即“凤尾”>=“鸡头”。何谓“凤尾”？我先选出最强的一批人( $\max f$)，然后组成实验班，实验班倒数第一就是 $\min \ \max f$；何谓“鸡头”？我先选出最弱的一批人( $\min f$)，然后在这批比较弱的人当中选出最强的那个人，也即是 $\max \ \min f$，那么“鸡头”与“凤尾”孰强孰弱，是显而易见的。
  现在我们利用数学推导来大致证明一下弱对偶性。
  对于 $L(x,\lambda,\eta)$这个函数，我们知道下面这个不等式一定成立：

上面这个不等式很好理解，中间 $L(x,\lambda,\eta)$我们可以理解为L的值域，值域里面的任何一个数，必然是大于等于它的最小值，小于等于它的最大值。其实这一步已经证明出弱对偶性了，不过为了更容易理解，我们可以进一步说明。
  上述不等式最左边的表达式最后是关于 $\lambda,\eta$的一个函数，而最右边是一个关于 $x$的函数，因此我们又令：

因此我们有：

证毕。

2.2弱对偶性的几何证明

  为了使问题简化，同时方便证明，我们去掉原问题中等式的约束条件，同时不等式约束条件只保留一个，即原问题变成：

那么拉格朗日函数就变成：

我们又令：

即 $p^*$是原问题的最优解， $d^*$是对偶问题的最优解。证明弱对偶性实际上就是证明 $d^*\leq p^*$。
  我们令区域G的表达形式为：

D是原问题的定义域，G表示一个个点的集合，点的横坐标是约束条件 $u=m_{1}(x)$，纵坐标是原函数 $t=f(x)$。
  有了上述集合G的定义之后，我们就可以对 $p^*,d^*$进行变式。
  首先对 $p^*$进行变式：

因为 $t=f(x)$，所以 $p^*$实际上就是t的最小值，反映到集合G中去就是指一个点的纵坐标，这个点要满足两个条件：一是肯定要在G中，二是 $m_{1}(x)\leq0$也就是该点的横坐标小于等于0。
如下图所示：

  我们对 $u\leq0$那部分，也就是图中阴影部分上的每个点，找到一个最低的点，它的纵坐标就是 $p^*$。
  接着对 $d^*$进行变形：

上述 $t+\lambda u$的来源为：

对变形后 $d^*$我们令：

我们先找到 $g(\lambda)$在图中的位置：我们知道 $t+\lambda u$实际上也是一个值，我们不妨令 $t+\lambda u=k$，该式表示一条斜率为 $-\lambda$并过(0,k)的直线，我们要找的是 $t+\lambda u$的最小值，实际上就是k的最小值，实际上就是该直线与纵轴交点的最小值。而在求 $\min \limits_{x}\ t+\lambda u$的最小值时， $\lambda$是固定的，因此斜率 $-\lambda$也是固定的：

  我们保持斜率不变移动直线，不断往上移动，则该直线与纵轴交点的纵坐标k也不断增大，因为限制条件还有一个就是 $(u,t)\in G$，因此该直线必须经过区域G，我们一直往上移动，直到直线第一次与G相交，记下相应的k值为 $k_{1}$，再继续往上也都满足条件，知道该直线与G不再相交，但是现在我们求得是最小值，那么最小值其实就是 $k_{1}$，即 $g(\lambda)$就等于 $k_{1}$。
  进一步，我们要求：

这里要重点注意：上一步我们求得了 $g(\lambda)$就等于 $k_{1}$，但是这种情况只是一种情况，在上一步求 $g(\lambda)$时，我们假若改变斜率 $-\lambda$，那么 $k_{1}$的值是会变的，如下所示：

  我们换一个 $\lambda$固定时， $g(\lambda)$也就是 $k_{1}$自然也就在变。
  第二步要干的其实就是让我们求这个 $g(\lambda)$的最大值。那什么时候是最大的？实际上就是以G的最低点为轴，我们旋转直线，直到与左上方最低点相交时， $g(\lambda)$是最大的。如下所示：

  可能很多人就有疑问了：我为什么不可以让斜率继续增大？让直线穿过G？这里有疑问的同学不妨回忆一下第一个步骤：

我们在确定 $g(\lambda)$的时候，第一次相切我们就停止了，而后改变斜率继续相切：如上图所示，假如你继续增大斜率，那么该直线就不跟G的最低点相切了。我们是先推第一步再推第二步，而推第二步的时候肯定必须满足第一步的条件，所以 $d^*$只能是在那个位置。

  从上图也可以看出来： $d^*\leq p^*$，也就是对偶问题的解是小于等于原问题的解的，也即是说满足弱对偶性。因此这里我们进一步证明了弱对偶性。

2.3强对偶性的几何表示以及条件

  什么是强对偶性？就是指原问题的解与对偶问题的解是相同的，也即是： $d^*=p^*$。
  画个图：

  假设G是一个凸集，那么根据上面找 $d^*$和 $p^*$的思路，我们很容易知道这个时候二者是相等的，也就是满足强对偶关系。
  那上面这句话的意思就是说：只要是凸集就一定满足强对偶关系。这句话不是正确的，不是所有的凸集都满足强对偶关系，但是加上slater条件就一定满足。

2.4 slater condition

  先直接给出slater条件的定义：对于x的定义域D，如果它存在一个内点（不是边界上的点） $x^*$满足对任意的 $m_{i}(x)\lt0,i=1,2,...,M$，则说明该问题满足slater条件。
  对slater条件做两点说明：

1. 对于大多数的凸优化问题来说，slater condition都是成立的
2. 放松的slater条件：如果约束函数 $m_{i}(x),i=1,2,...,M$中有K个是仿射函数，则我们只需要那M-K个约束函数满足第一个条件，我们也说该问题满足slater条件。
3. 什么是仿射函数？仿射函数，即最高次数为1的多项式函数。常数项为零的仿射函数称为线性函数。简单来说，就是比较简单的函数。

  对第一个条件进一步说明：为什么我们要满足这个条件？第一个条件放在G中的意思就是：G在u<0部分必须有点存在：

假设纵坐标左边没有点，那么在我们寻找 $g(\lambda)$时，那条直线实际上就会是纵坐标轴。

3.KKT条件的证明

  通过上面的推导我们知道了：

满足强对偶关系之后我们就得到一个结论： $d^*=p^*$，但是也到此为止了，我们肯定得解出那些未知最优参数（带 * 的变量），KKT条件就是干这件事。
  KKT条件有三部分：可行条件、互补松弛条件以及偏导为0条件，我们一个一个推导。

3.1可行条件

  所谓可行条件，指的是一开始就满足的一些条件：

这三个条件肯定得满足，这个没啥可说的，天然满足。

3.2互补松弛条件

  我们知道：

带星号的都是最优解的意思。根据可行条件我们知道： $\lambda_{i}\geq0,m_{i}\leq0$，所以 $\lambda_{i}m_{i}\leq0$，所以上面继续变换：

因为最后一步等于第一步，所以中间推导步骤中的 $\leq$都应该变成=，倒数第三步等于倒数第二步，所以我们有：

而前面我们又知道 $\lambda_{i}m_{i}\leq0$，所以互补松弛条件如下：

3.3偏导为0条件

继续看这个推导，第二、三步之间应该用等号连接，即：

意思就是说L在 $x=x^*$处有最小值，于是偏导为0条件就出来了：

于是KKT条件为：

证毕。