算法之美（斐波那契）

算法之美

数据结构 + 算法 = 程序
数据结构是程序的骨架，算法是程序的灵魂。

1.1 算法复杂性

算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。

算法特性：
(1) 有穷性：算法是若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
(2) 确定性：每条语句有特定的含义，无歧义。
(3) 可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算实现。
(4) 输入输出：有零个或多个输入，一个或多个输出。

“好”算法的标准：
正确性、易读性、健壮性、高效性、低储存性。

时间复杂度：算法需要运行的时间，一般将算法的执行次数作为时间复杂度的度量标准。
空间复杂度：算法占用的空间大小，一般将算法的辅助空间作为衡量空间复杂度的标准。

1.2 魔鬼序列

• 棋盘麦子故事
  64 个格子共放 S = 1+2+2^ 2+……+2^63 ①
  把 ① 两边乘 2，
  2S=2+2^ 2+……+2^64 ②
  ② - ①：
  S = 2^64-1=18446744073709551615
  这样的算法称为爆炸增量函数。

常见的算法复杂度：
(1)常数阶，用 O(1) 表示。
(2)多项式阶，用 O(n),O(n^ 2),O(n^3) 表示。
(3)指数阶，用 O(2^ n),O(n!),O(n^n) 等表示。
(4)对数阶，常见的有 O(logn),O(nlogn)。
关系：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^ 2)<O(n^ 3)<O(2^ n)<O(n!)<O(n^n)

• 神奇兔子序列：当月的兔子数 = 上月兔子数 + 当月新生兔子数
  斐波拉契数列如下：
  1，1，2，3，5，8，13，21，34…
  递归表达式：

         	1              			,n=1
F(n)=  		1               			,n=2
      		F(n-1)+F(n-2)  			,n>2

• 算法设计：

Fib1(int n)
{
	if(n<1)
		return -1;
	if(n=1||n=2)
		return 1;
	return Fib1(n-1)+Fib1(n-2); 
}

时间复杂度分析：这是一个指数阶的算法。当 n 趋于无限大时，这是一个爆炸增量函数。
算法改进：

Fib2(int n)
{
	int i,s1=1,s2=1;
	if(n<1)
		return -1;
	if(n==1||n==2)
		return 1;
	for(i=3;i<=n;i++)
	{
		s2=s1+s2;//辗转相加法
		s1=s2-s1;//记录前一项
	}
	return s2;
}

复杂度分析：时间复杂度为 O(n),空间复杂度为 O(1) ;