常用算法 之 牛顿迭代法求解PT100温度（高阶方程求解）

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问题

  在最近的工作中用到了PT100铂电阻，它适用于医疗、电机、工业、温度计算、卫星、气象、阻值计算等高精温度设备，应用范围非常之广泛。类似的还有PT1000。
  PT后的100即表示它在0℃时阻值为100欧姆，在100℃时它的阻值约为138.5欧姆。它的工作原理：当PT100在0摄氏度的时候他的阻值为100欧姆，它的的阻值会随着温度上升它的阻值是成匀速增长的。
  在国家标准《GBT 30121-2013 工业铂热电阻及铂感温元件.pdf》中（下载见附件），PT100的分度表如下图所示：

温度与阻值的计算公式，在标准文档中也是有的，如下：

以上公式涉及到高阶方程的求解问题！

方法

  一般可使用牛顿迭代法求近似解！关于该方法，网友马同学高等数学 写了一篇非常棒的文章如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法？来进行了非常详细的介绍。由于没有作者的授权，这里不方便转载，感兴趣的可以点击以上链接去看看！需要很强的数学知识哦！！！突然感觉，当初的高等数学白学了，唉。。。

源码

  从温度获取阻值非常简单，重点在于从阻值获取温度！用二阶导数切线法，根据电阻接近零度电阻程度，用1到3次计算可得到较为精确的温度值：

1. 先用线性公式得到一个粗略的温度：
   t1 = (Rt / R0 - 1) / A
   计算t1的阻值：
   0度以上用公式：Rt1 = R0 * (1 + A * t1 + B * t1 * t1);
   0度以下用公式：Rt1 = R0 * [1 + A * t1 + B * t1 * t1 + C * (t1 - 100) * t1 * t1 * t1];
   如果 |Rt1 - Rt| < 0.001，t1 就是所要的温度，反之继续进行下面的计算：
2. 计算一阶导数和二阶导数：
   如果 Rt ≥ R0
   t1’ = 1 / [R0 * (A + 2 * B * t1)]
   t1’’ =-2 * B * R0 * t1’ * t1’ * t1’
   如果 Rt < R0
   t1’ = 1 / [R0 * (A + 2 * B * t1 - 300 * C * t1 * t1 + 4 * C * t1 * t1 * t1)]
   t1’’=- R0 * (2 * B - 600 * C * t1 + 12 * C * t1 * t1) * t1’ * t1’ * t1’
3. 基于 Rt，t1，Rt1 计算近似温度 t2：
   t2 = t1 + t1’ * (Rt - Rt1) + 0.5 * t1’’ * (Rt - Rt1) * (Rt - Rt1)，再计算出 t2 对应的电阻 Rt2。
4. 如果 |Rt2 - Rt| < 0.001，t2 就是所要的温度，反之再从第二步开始计算 t2 的一二阶导数，最终得出精确的温度值。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>

#define A 3.9083e-3
#define B -5.775e-7
#define C -4.183e-12


/**
 * @brief 从温度获取阻值
 * @param[in] temp		温度值
 * @param[out] resist	阻值
 * @retval  是否成功
 */
bool GetResistanceFromTempereture(double temp, double* resist)
{
	double fT, fR;
	bool ret;

	if(resist == NULL)
	{
		return false;
	}

	if (temp >= -200 && temp < 0)
	{
		*resist = 100 * (1 + A * temp + B * temp * temp + C * (temp - 100) * temp * temp * temp);
		ret = true;
	}
	else if (temp >= 0 && temp <= 850)
	{
		*resist = 100 * (1 + A * temp + B * temp * temp);
		ret = true;
	}
	else
	{
		*resist = 0;
		ret = false;
	}
	return ret;
}

/**
 * @brief 从阻值获取温度
 * @param[in] resist	阻值
 * @param[out] temp		温度值
 * @retval  是否成功
 * @note 用二阶导数切线法，根据电阻接近零度电阻程度，用1到3次计算可得到较为精确的温度值：
 *	1. 先用线性公式得到一个粗略的温度：
 *		t1 = (Rt / R0 - 1) / A
 *
 *		计算t1的阻值：
 *			0度以上用公式：Rt1 = R0 * (1 + A * t1 + B * t1 * t1);
 *			0度以下用公式：Rt1 = R0 * [1 + A * t1 + B * t1 * t1 + C * (t1 - 100) * t1 * t1 * t1];
 *
 *		如果 |Rt1 - Rt| < 0.001，t1 就是所要的温度，反之继续进行下面的计算：
 *
 *	2.  计算一阶导数和二阶导数：
 *		如果 Rt ≥ R0
 *			t1' = 1 / [R0 * (A + 2 * B * t1)]
 *			t1'' =-2 * B * R0 * t1' * t1' * t1'
 *		如果 Rt < R0
 *			t1' = 1 / [R0 * (A + 2 * B * t1 - 300 * C *  t1 *  t1 + 4 * C *  t1 *  t1 *  t1)]
 *			t1''=- R0 * (2 * B - 600 * C *  t1 + 12 * C *  t1 *  t1) * t1' * t1' * t1'
 *
 *	3. 基于 Rt，t1，Rt1 计算近似温度 t2：
 *		t2 = t1 + t1' * (Rt - Rt1) + 0.5 * t1'' * (Rt - Rt1) * (Rt - Rt1)，再计算出 t2 对应的电阻 Rt2。
 *
 *	4. 如果 |Rt2 - Rt| < 0.001，t2 就是所要的温度，反之再从第二步开始计算 t2 的一二阶导数，最终得出精确的温度值。
 */
bool GetTemperetureFromResistance(double resist, double* temp)
{
	bool ret;
	double fT, fT0;
	short i;

	if(temp == NULL)
	{
		return false;
	}

	/* 1. 先用线性公式得到一个粗略的温度 */
	fT0 = (resist / 100 - 1) / A;
	/* 计算t1的阻值 */
	if (resist >= 18.52 && resist < 100) /* -200℃ ~ 0℃ */
	{
		for (i = 0; i < 50; i++)
		{
			fT = fT0 + (resist - 100 * (1 + A * fT0 + B * fT0 * fT0 - 100 * C * fT0 * fT0 * fT0 + C * fT0 * fT0 * fT0 * fT0)) /
						   (100 * (A + 2 * B * fT0 - 300 * C * fT0 * fT0 + 4 * C * fT0 * fT0 * fT0));
			if (fabs(fT - fT0) < 0.001) /* 如果 |Rt1 - Rt| < 0.001，t1 就是所要的温度 */
			{
				break;
			}
			else
			{
				fT0 = fT;
			}
		}
		*temp = fT;
		ret = true;
	}
	else if (resist >= 100 && resist <= 390.481) /* 0℃ ~ 850℃ */
	{
		for (i = 0; i < 50; i++)
		{
			fT = fT0 + (resist - 100 * (1 + A * fT0 + B * fT0 * fT0)) / (100 * (A + 2 * B * fT0));
			if (fabs(fT - fT0) < 0.001) /* 如果 |Rt1 - Rt| < 0.001，t1 就是所要的温度 */
			{
				break;
			}
			else
			{
				fT0 = fT;
			}
		}
		*temp = fT;
		ret = true;
	}
	else
	{
		ret = false;
	}
	return ret;
}

/* 测试 */
int main(int argc, char const *argv[])
{
	double temp = 0;
	double resist = 68.33;

	if(GetTemperetureFromResistance(resist, &temp))
	{
		printf("Temp = %f\r\n", temp);
	}
	else
	{
		printf("Temp = Error!\r\n");
	}
	return 0;
}

附件

1. GBT 30121-2013 工业铂热电阻及铂感温元件.pdf