非线性方程求解：二分迭代法和牛顿迭代法

在机器人算法开发中，经常会遇到求解非线性方程。非线性方程的求解十分困难，这里介绍两种方法：

1. 二分法 2.牛顿迭代法

定义：

非线性方程,就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系,这类方程很多,
例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等.
求解此类方程往往很难得到精确解,经常需要求近似解问题.

二分法：

二分法又称二分区间法,是求解非线性方程的近似根的一种常用的简单方法.
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号,
逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。

首先应确定方程在[a,b]区间确定存在至少一个实数根：
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 
则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，
则仅有一个实根.

二分法求根过程

设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下

① 取有根区间[a,b]之中点, 将它分为两半x0=(a+b)/2,分点,这样就可缩小有根区间
② 对压缩了的有根区间[a1,b1]施行同样的手法,即取中点x1=(a1+b1)/2,
  将区间[a1,b1]再分为两半,然后再确定有根区间[a2,b2]],其长度是[a1,b1]的二分之一.
③ 如此反复下去,若不出现f(xk)=0,即可得出一系列有根区间序列,每个区间都是前一个区间的一半,
  因此[ak,bk]的长度:

$b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=...=\frac{b-a}{2^k}$

当k->∞时趋于零，区间最终收敛于一点x即为所求的根.

只要二分足够多次，便有：

$|x^*-x_k|<\epsilon \\ \epsilon 是给定的精度，当\\ k \ge\frac{lg(b-a)-lg\epsilon}{lg2}-1时，做到k+1次二分，\\ \\ 计算得到的x_k就是满足满足精度的近似解,在程序中通常用相邻的x_k与x_{k-1}的差的绝对值\\ 或a_k与b_k的差的绝对值是否小于ε来决定二分区间的次数。$

流程图：

在这里插入图片描述

牛顿迭代法

牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法, 它的基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化, 从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。

牛顿迭代法的推导：
对于方程f(x)=0,设其近似根为xk, 函数f(x)可在xk附近作泰勒展开

$f(x)=f(x_k)+f^{'}(x-x_k)+\frac{f^{''}(x_k)(x-x_k)^2}{2}+...\\ 忽略高次项\\ f(x)≈f(x_k)+f^{'}(x_k)(x-x_k)\\ 设x^*为实际根，则有f(x^*)=0，即\\ x^*=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\ 这就是牛顿迭代公式：\\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\$

流程图：

在这里插入图片描述

算法实践

根据S形曲线加减速算法

设置参数条件为：

$S = 5.3\\ Vm = 5\\ V_s = 0\\ V_e = 30\\ A = 100\\ J = 600\\$

推导得知，按照V,J加速到Ve，位移S’>S，即需要降低Ve,解得合适的Ve使得S’=S.
S'计算公式如下：

$\begin{cases} t1=\frac{A}{J}\\ t_2=\frac{V_e-V_s}{A}-t_1\\ S'=\frac{(V_s+V_e)}{2}*(2t_1+t_2)\\ \end{cases}$

使用二分法和牛顿法两种方法迭代计算Ve.

二分法：

核心代码：
            //二分法
            double a,b;
            int n=0;
            b = ve;
            a = tmp;

            while(1){
                tmp = (a+b)/2;
                n++;
                S1 = CalSacc(vs,tmp,A,J);

                if(fabs(S1-S)<1e-6){
                    break;
                }

                if(S1 > S){
                    b = tmp;
                }
                else{
                    a = tmp;
                }
            }

共计迭代了n=21次，近似解Ve=25.2738762

牛顿法：

核心代码：
            //牛顿法
            double a,b,c;
            int n=0;
            tmp = (tmp+ve)/2;
            while(1){
                n++;
                //ve 在 A*A/J+vs 和 ve之间

                a = (vs+tmp)*(A/J+(tmp-vs)/A)-2*S;
                b = A/J+(tmp-vs)/A+(vs+tmp)/A;
                c = tmp-a/b;
                if(fabs(c-tmp)<1e-6){
                    break;
                }
                tmp = c;

            }