3.牛顿迭代法求解方程的根

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牛顿迭代法求解方程的根

引题：用牛顿迭代法求下列方程在值等于x附近的根： $2x^3-4x^2+3x-6=0$
输入：输入x。
输出：方程在值等于x附近的根，占1行。
输入示例：1.5
输出实例：2

1. 牛顿迭代公式推导

设多项式 $f(x)$，设r是 $f(x)$的根。
选取 $x_0$作为r的初始近似值。
过点 $(x_0,f(x_0))$做曲线 $y=f(x)$的切线L。得L： $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
则L与x轴交点的横坐标为 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，那么称 $x_1$为r的一次近似值。
过点 $(x_1,f(x_1))$做曲线 $y=f(x)$的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$，称 $x_2$为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列。
其中， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$称为r的n+1次近似值。
所以， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$即为牛顿迭代公式。

2. 牛顿迭代公式核心思想

核心思想：使用泰勒级数的线性项近似计算函数 $f(x)=0$的根。把 $f(x)$在点 $x_0$的某领域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0。
泰勒级数展开式：
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+…+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)$
线性部分：
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
令其为0，并以此作为非线性方程 $f(x)=0$的近似方程，即切线方程，得到公式： $x=x_0-\frac{f(x)}{f'(x)}$
将其推广，即可以得到牛顿迭代公式： $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x)//函数
{
    return 2*pow(x,3)-4*pow(x,2)+3*x-6;
}

double f1(double x)//导函数
{
    return 6*pow(x,2)-8*x+3;
}

int main()
{
	float x;
	cin >> x;
	do
	{
		x = x - f(x)/f1(x);
	}while( f(x)>1e-5 || f(x)<-(1e+5) );//控制精度，逼近处理

	cout << x << endl;
}